立體幾何的解題技巧(編輯修改稿)
2025-04-21 06:44 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 . 如圖（1），將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的正六棱柱容器，當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 時(shí)容積最大.[思路啟迪]設(shè)四邊形一邊AD，然后寫出六棱柱體積，利用均值不等式，求出體積取最值時(shí)AD長(zhǎng)度即可.解答過程：如圖（2）設(shè)AD＝a，易知∠ABC＝60176。，且∠ABD＝30176。AB＝a .BD＝2a正六棱柱體積為V .V＝＝ ＝≤ .當(dāng)且僅當(dāng) 1－2a＝4a a＝時(shí)，體積最大，此時(shí)底面邊長(zhǎng)為1－2a＝1－2＝ .∴ 答案為 .棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求矩形或平行四邊形面積，棱柱側(cè)面積轉(zhuǎn)化成求三角形的面積.直棱柱體積V等于底面積與高的乘積.棱錐體積V等于Sh其中S是底面積，h是棱錐的高.例15. 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝a，BC＝CA＝AA1＝a，A1在底面△ABC上的射影O在AC上A1B1C1ABCDO① 求AB與側(cè)面AC1所成角；② 若O恰好是AC的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積. [思路啟迪] ①找出AB與側(cè)面AC1所成角即是∠CAB；②三棱錐側(cè)面積轉(zhuǎn)化成三個(gè)側(cè)面面積之和，側(cè)面BCC1B1是正方形，側(cè)面ACC1A1和側(cè)面ABB1A1是平行四邊形，分別求其面積即可.解答過程：①點(diǎn)A1在底面ABC的射影在AC上，∴ 平面ACC1A1⊥平面ABC.在△ABC中，由BC＝AC＝a，AB＝a.∴ ∠ACB＝90176。，∴ BC⊥AC.∴ BC⊥平面ACC1A1.即 ∠CAB為AB與側(cè)面AC1所成的角在Rt△ABC中，∠CAB＝45176。.∴ AB與側(cè)面AC1所成角是45176。.② ∵ O是AC中點(diǎn)，在Rt△AA1O中，AA1＝a，AO＝a. ∴ AO1＝a. ∴ 側(cè)面ACC1A1面積S1＝. 又BC⊥平面ACC1A1 ， ∴ BC⊥CC1. 又BB1＝BC＝a ，∴ 側(cè)面BCC1B1是正方形，面積S2＝a2.過O作OD⊥AB于D ，∵ A1O⊥平面ABC， ∴A1D⊥AB.在Rt△AOD中，AO＝a ，∠CAD＝45176?！?OD＝a在Rt△A1OD中，A1D＝ ＝.∴ 側(cè)面ABB1A1面積S3＝＝.ABCMNKLABCMNKL∴ 三棱柱側(cè)面積 S＝S1＋S2＋S3＝.例16. 等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，沿MN將△AMN折起，使得面AMN與面MNCB所成的二面角為30176。，則四棱錐A—MNCB的體積為 （ ）A、 B、 C、 D、3[思路啟迪]先找出二面角平面角，即∠AKL ,再在△AKL中求出棱錐的高h(yuǎn)，再利用V＝Sh 即可.解答過程：在平面圖中，過A作AL⊥BC，交MN于K，交BC于L.則AK⊥MN，KL⊥MN.∴ ∠AKL＝30176。.則四棱錐A—MNCB的高h(yuǎn)＝＝.＝.∴ ＝.∴ 答案 A【專題綜合訓(xùn)練】一、選擇題1．如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上， 且BD=1，若AD與側(cè)面AA1CC1所成的角為，則的值為（ ）CBADA. B. C. D. 2．直線a與平面成角，a是平面的斜線，b是平面內(nèi)與a異面的任意直線，則a與b所成的角（ ）A. 最小值，最大值 B. 最小值，最大值C. 最小值，無最大值 D. 無最小值，最大值3．在一個(gè)的二面角的一平面內(nèi)有一條直線與二面角的棱成角，則此直線與二面角的另一平面所成的角為（ ）A. B. C. D. BACDD1C1B1A14．如圖，直平行六面體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，則對(duì)角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成的角的正弦值為（ ）A. B. C. D. 5．已知在中，AB=9，AC=15，它所在平面外一點(diǎn)P到三頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)P到平面的距離為（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7ADBAD1C1B1A1MN6．如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別是棱A1BA1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)B到平面AMN的距離是（ ）A. B. C. D. 27．將，邊長(zhǎng)MN=a的菱形MNPQ沿對(duì)角線NQ折成的二面角，則MP與NQ間的距離等于( )A. B. C. D.8．二面角的平面角為，在內(nèi)，于B，AB=2,在內(nèi)，于D，CD=3,BD=1, M是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM+CM的最小值為( )A. B. C. D. 9．空間四點(diǎn)A、B、C、D中
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