北師大版二次函數(shù)經(jīng)典總結(jié)及典型題(編輯修改稿)
2025-04-20 23:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例7 （2006，山東棗莊）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2－mx+與y=x2－mx－，這兩個二次函數(shù)的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點． （1）試判斷哪個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A，B兩點； （2）若A點坐標(biāo)為（－1，0），試求B點坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，對于經(jīng)過A，B兩點的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時，y的值隨x值的增大而減小？ 練習(xí)(2009年陜西省) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，點A的坐標(biāo)是(－1，2)．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式；（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S△ABP＝S△ABO． 例8 （2006，重慶市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的兩個實數(shù)根，且mn，拋物線y=－x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（m，0），B（0，n），如圖所示． （1）求這個拋物線的解析式； （2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標(biāo)和△BCD的面積；（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標(biāo)． 【分析】（1）解方程求出m，n的值． 用待定系數(shù)法求出b，c的值． （2）過D作x軸的垂線交x軸于點M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面積，用割補法可求出△BCD的面積． （3）PH與BC的交點設(shè)為E點，則點E有兩種可能： ①EH=EP， ②EH=EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由mn，有m=1，n=5． 所以點A，B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=－x2+bx+c， 得 解這個方程組，得 所以拋物線的解析式為y=－x2－4x+5． （2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解這個方程，得x1=－5，x2=1． 所以點C的坐標(biāo)為（－5，0），由頂點坐標(biāo)公式計算，得點D（－2，9）．過D作x軸的垂線交x軸于M，如圖所示． 則S△DMC=9（5－2）=． S梯形MDBO=2（9+5）=14， S△BDC =55=． 所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15． （3）設(shè)P點的坐標(biāo)為（a，0） 因為線段BC過B，C兩點，所以BC所在的直線方程為y=x+5． 那么，PH與直線BC的交點坐標(biāo)為E（a，a+5），PH與拋物線y=－x2+4x+5的交點坐標(biāo)為H（a，－a2－4a+5）． 由題意，得①EH=EP，即 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解這個方程，得a=－或a=－5（舍去）． ②EH=EP，得 （－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）． 解這個方程，得a=－或a=－5（舍去）． P點的坐標(biāo)為（－，0）或（－，0）．七、用二次函數(shù)解決最值問題例9 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030…y（件）252010… 若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)． （1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？ 【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達式為y=kx+b．則 解得k=1，b=40，即一次函數(shù)表達式為y=x+40． （2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元 w=（x10）（40x）=x2+50x400=（x25）2+225． 產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元． 【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大（或最小、最?。钡脑O(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)( )A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B八、二次函數(shù)應(yīng)用(一）經(jīng)濟策略性，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高銷售價格。經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售時，每月能賣360件若按每件25元的價格銷售時，每月能賣210件。假定每月銷售件數(shù)y(件）是價格X的一次函數(shù).(1)試求y與x的之間的關(guān)系式.(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價格定為多少時，才能使每月獲得最大利潤，每月的最大利潤是多少？（總利潤=總收入－總成本），從海上捕獲后不放養(yǎng)最多只能活兩天，如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去，假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個體重量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價收購了這種活蟹1000千克放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元，據(jù)測算，以后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是放養(yǎng)一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部售出，售價都是每千克20元。（1）設(shè)X天后每千克活蟹的市場價為P元，寫出P關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式。（2）如果放養(yǎng)X天后將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售
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