動點的軌跡問題(編輯修改稿)
2025-04-20 12:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 |BC|，故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓， 以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系， 可求得動點P的軌跡方程為：l O 39。 PE D C B A 練習(xí)： 已知圓O的方程為 x2+y2=100,點A的坐標為（6，0），M為圓O上任一點，AM的垂直平分線交OM于點P，求點P的方程。解：由中垂線知，故，即P點的軌跡為以A、O為焦點的橢圓，中心為（3，0），故P點的方程為評析：定義法的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一基本軌跡的定義條件。三、代入法題型：例3 如圖，從雙曲線x2y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N。求線段QN的中點P的軌跡方程。解：設(shè)動點P的坐標為（x,y）,點Q的坐標為（x1,y1）則N（ 2xx1,2yy1）代入x+y=2,得2xx1+2yy1=2 ① 又PQ垂直于直線x+y=2，故，即xy+y1x1=0 ②由①②解方程組得, 代入雙曲線方程即可得P點的軌跡方程是2x22y22x+2y1=0練習(xí)：已知曲線方程f(x,y)=，關(guān)于x軸，關(guān)于y軸，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線y=x，關(guān)于直線y=3對稱的曲線方程。(f(x,y)=0,f(x,y)=0,f(x,y)=0,f(y,x)=0,f(x,y)=0，f(x,6y)=0)四、參數(shù)法與點差法題型：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y之間建立起聯(lián)系，然而再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程。例4 經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p0)的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B、C兩點，求線段BC的中點M軌跡方程。解：A（2p,0）,設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2p)(k0).與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B點的坐標為，由于AC與AB垂直，則AC的方程為，與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點的坐標為，又M為BC中點，設(shè)M（x,y）, 則，消去k得y2=px,即點M的軌跡是拋物線。鞏固與提高：1〉在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B滿足AO⊥BO（如圖4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；【解析】解法一：以O(shè)A的斜率k為參數(shù)由解得A（k，k2） ∵OA⊥OB，∴OB：由解得B設(shè)△AOB的重心G
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