二次函數(shù)壓軸題——角的存在性(編輯修改稿)
2025-04-20 06:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （1）將A（﹣1，0）、C（0，﹣3）代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）將點D（m，﹣m﹣1）代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵點D（m，﹣m﹣1）在第四象限，∴D（2，﹣3），∵直線BC解析式為y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45176。，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴點D關(guān)于直線BC對稱的點D39。（0，﹣1）；（3）存在．過D點作DE⊥x軸，垂足為E，交直線BC于F點（如圖），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x軸，四邊形PCDB為平行四邊形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，設(shè)CP與BD相交于M點（m，3m﹣9），易求BD解析式為：y=3x﹣9，由BM=CM，得到關(guān)于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點坐標(biāo)為：M（，﹣）；于是CM解析式為：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點坐標(biāo)為：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標(biāo)． 3．（2014?湖州）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點為D，與y軸的交點為C，過點C作CA∥x軸交拋物線于點A，在AC延長線上取點B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點A的坐標(biāo)是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請直接寫出一個符合條件的點A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）①將拋物線上的點的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值；②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90176?？梢郧蟮谩鰽BO∽△OBC即=，再根據(jù)勾股定理可得OC=BC，AC=OC，可求得橫坐標(biāo)為177。c，縱坐標(biāo)為c．解答：解：（1）①∵AC∥x軸，A點坐標(biāo)為（﹣4，4）．∴點C的坐標(biāo)是（0，4）把A、C兩點的坐標(biāo)代入y=﹣x2+bx+c得，解得；②四邊形AOBD是平行四邊形；理由如下：由①得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x+4，∴頂點D的坐標(biāo)為（﹣2，8），過D點作DE⊥AB于點E，則DE=OC=4，AE=2，∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC．∵AC∥x軸，∴∠AED=∠BCO=90176。，∴△AED≌△BCO，∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，∴AD∥BO，∴四邊形AOBD是平行四邊形．（2）存在，點A的坐標(biāo)可以是（﹣2，2）或（2，2）要使四邊形AOBD是矩形；則需∠AOB=∠BCO=90176。，∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=，又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC，∴在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC=BC，AC=OC，∵C點
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