專題：橢圓的離心率解法大全(編輯修改稿)
2025-04-20 05:55 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 正弦定理設(shè)記 又因?yàn)?，?則 則， 所以解法5：利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性由，知點(diǎn)P在以為直徑的圓上。又點(diǎn)P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點(diǎn)P，故有變式(1)：圓 +=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1 （c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求橢圓的離心率e分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理： = 根據(jù)和比性質(zhì)：= 變形得： ==e∠PF1F2 =75176?！螾F2F1 =15176。 e= =點(diǎn)評(píng)：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變式(2)：橢圓 +=1(ab 0)的兩焦點(diǎn)為F1 （c，0）、F2 (c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2 =60176。，求橢圓離心率e的取值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120176。α e===≥ ∴≤e1變式(3)：過(guò)橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率e的值解析：因?yàn)?，再由有從而得變?4)：若為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，使，求此橢圓離心率的最小值。{}變式(5)：橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則橢圓的離心率的取值范圍為 解析：設(shè)為橢圓左焦點(diǎn)，因?yàn)閷?duì)角線互相平分，所以四邊形為平行四邊形且為矩形，，所以，由得。xyA1B2A2OTM6，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)T，線段與橢圓的交點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為 .直線的方程為，直線的方程為，兩式聯(lián)立得T的坐標(biāo)，所以中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，代人方程得 則
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