雙曲線的漸近線和離心率問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-04-20 23:28 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 c)，解得B(，－)．又直線OA的方程為y＝x，則A(c，)，kAB＝＝.又因?yàn)锳B⊥OB，所以(－)＝－1，解得a2＝3，故雙曲線C的方程為－y2＝1.②由①知a＝，則直線l的方程為－y0y＝1(y0≠0)，即y＝.因?yàn)橹本€AF的方程為x＝2，所以直線l與AF的交點(diǎn)為M(2，)；直線l與直線x＝的交點(diǎn)為N(，)．則＝＝＝.因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則－y＝1，代入上式得＝＝＝，即所求定值為＝＝.變式訓(xùn)練1 x177。y＝0解析 由題意知e1＝，e2＝，∴e1e2＝＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝177。，∴＝.令－＝0，解得bx177。ay＝0，∴x177。y＝0.例2 (1)④ (2)解析 (1)由題意e1＝ ＝ ；雙曲線C2的實(shí)半軸長(zhǎng)為a＋m，虛半軸長(zhǎng)為b＋m，離心率e2＝ ＝ .因?yàn)椋?，且a0，b0，m0，a≠b，所以當(dāng)ab時(shí)，0，即.又0，0，所以由不等式的性質(zhì)依次可得22,1＋21＋2，所以，即e2e1；同理，當(dāng)ab時(shí)，0，可推得e2e1.綜上，當(dāng)ab時(shí)，e1e2；當(dāng)ab時(shí)，e1e2.(2)如圖，設(shè)OF的中點(diǎn)為T，由(＋)＝0可知AT⊥OF，又A在以O(shè)F為直徑的圓上，∴A，又A在直線y＝x上，∴a＝b，∴e＝.變式訓(xùn)練2 解 (1)因?yàn)閑1e2＝，所以 ＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，從而F2(b,0)，F(xiàn)4(b,0)，于是b－b＝F2F4＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分別為＋y2＝1，－y2＝1.(2)因AB不垂直于y軸，且過(guò)點(diǎn)F1(－1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為x＝my－1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中點(diǎn)為M(，)，故直線PQ的斜率為－，PQ的方程為y＝－x.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m20，且x2＝，y2＝，從而PQ＝2＝2.設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到直線PQ的距離也為d，所以2d＝.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在直線mx＋2y＝0的異側(cè)，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，從而2d＝.又因?yàn)閨y1－y2|＝＝，所以2d＝.故四邊形APBQ的面積S＝PQ2d＝＝2.而02－m2≤2，故當(dāng)m＝0時(shí)，S取得最小值2.綜上所述，四邊形APBQ面積的最小值為2.例3 解 (1)因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，從而雙曲線E的離心率e＝＝.(2)方法一 由(1)知，雙曲線E的方程為－＝1.設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則OC＝a，AB＝4a.又因?yàn)椤鱋AB的面積為8，所以O(shè)C
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