小學(xué)奧數(shù)排列組合例題(編輯修改稿)
2025-04-20 03:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?【解析】 （1）從3個(gè)男同學(xué)中選出2人，有=3種選法。從4個(gè)女同學(xué)中選出2人，有=6種選法。在四個(gè)人確定的情況下，參加四個(gè)不同的小組有4321=24種選法。3624=432，所以共有432種選法。（2）在四個(gè)人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)有2321=12種選法。3612=216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216種。（3）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法，此時(shí)的問題相當(dāng)于從3個(gè)男同學(xué)中選出2人，從3個(gè)女同學(xué)中選出1人，3個(gè)人參加3個(gè)小組時(shí)的選法。33321=54，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法有54種，43254=378，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有378種。（4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法，此時(shí)的問題相當(dāng)于從3個(gè)男同學(xué)中選出2人參加兩個(gè)不同的小組，從3個(gè)女同學(xué)中選出1人參加美術(shù)小組時(shí)的選法。323=18，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法有18種，21618=198，所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有198種。【例 12】 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成個(gè)小組，每組人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的個(gè)第名進(jìn)行場半決賽和場決賽，確定至名的名次．問：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場比賽？【解析】 第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的個(gè)人每人要賽一場，組內(nèi)賽場，共個(gè)小組，有場；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部人中每人賽一場，組內(nèi)賽場，共個(gè)小組，有場；第三階段賽場．根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有場比賽?！纠?13】 由數(shù)字1，2，3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1，2，3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有________個(gè)。(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)【解析】 這是一道組合計(jì)數(shù)問題．由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個(gè)或個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))；⑵，中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))．符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))．(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))?！纠?14】 個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】 (法1)乘法原理．按題意，分別站在每個(gè)人的立場上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有種選擇，總共就有種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是()(種)．(法2)排除法．可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有種，所以共有(種)?！纠?15】 8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰，小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇．小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：（種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：（種）?！纠?16】 小明有10塊大白兔奶糖,從今天起,?【解析】 我們將10塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”,則將lO塊糖分成了兩部分。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！眷柟獭?小紅有10塊糖，每天至少吃1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】 分三種情況來考慮：⑴ 當(dāng)小紅最多一天吃塊時(shí)，其余各每天吃塊，吃塊的這天可以是這七天里的任何一天，有種吃法；⑵ 當(dāng)小紅最多一天吃塊時(shí)，必有一天吃塊，其余五天每天吃塊，先選吃塊的那天，有種選擇，再選吃塊的那天，有種選擇，由乘法原理，有種吃法；⑶ 當(dāng)小紅最多一天吃塊時(shí)，必有三天每天吃塊，其四天每天吃塊，從天中選天，有(種)吃法。根據(jù)加法原理，小紅一共有(種)不同的吃法．還可以用擋板法來解這道題，塊糖有個(gè)空，選個(gè)空放擋板，有(種)不同的吃法?！眷柟獭?把20個(gè)蘋果分給3個(gè)小朋友，每人最少分3個(gè)，可以有多少種不同的分法？【解析】 (法1)先給每人2個(gè)，還有14個(gè)蘋果，每人至少分一個(gè)，13個(gè)空插2個(gè)板，有種分法． (法2)也可以按分蘋果最多的人分的個(gè)數(shù)分類枚舉?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個(gè)空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個(gè)空中畫兩條豎線，一共有種方法．【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇．其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例 18】 從名男生
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