高等動力學ppt課件(編輯修改稿)
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【文章內容簡介】 信息科技大學 戈新生（ ） 2022年 2月 17日 Page 26 問題 1：如何確定系統(tǒng)的廣義坐標 ？ 問題 2：如何計算約束反力 ？ 問題 3：非完整系統(tǒng) ？ 內容 1：第一類拉氏方程 內容 2：拉氏乘子的物理意義 內容 3：例 本節(jié)內容 2022年 2月 17日 Page 27 ? ?*10l k k kkQ Q q?????達朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： * ddk kkTTQt q q????? ? ???????1d 0dlkkkkkTTQqt q q ????????? ? ????????????廣義慣性力 ： 廣義坐標形式的 達朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： 310 ( 1 , 2 , )N j i iiA x j r s??? ? ??對于完整約束 ， ?qk獨立可導出第二類拉氏方程 。 對于一階線性非完整約束 ： 3110 ( 1 , 2 , )lN iji kki kgA q j sq ???? ?????第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 28 將虛位移形式的約束方程改寫為： 3110 ( 1 , 2 , ) 。lN ij k k j k j iki kgB q j s B Aq????? ? ????引入 s個待定乘子，乘以約束方程后求和： 11d 0dlsk j j k kkkkjTTQ B qt q q ??????????? ? ? ?????????????110slj j k kjkBq???????110ls j jk kkjBq?????? ???????代入廣義坐標形式的 達朗貝爾原理－拉格朗日原理 ： 10 ?ddsk j jkkk jTTQBt q q ??????? ? ? ??????? ?第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 29 系統(tǒng)具有 ls個獨立的廣義坐標，設為 q1? qls: 1111d0dd0dlsk j jk kkkl s sk j jk kkkkjk l s jTTTQ B qt q qTQ B qt q q????? ? ? ????????????????? ? ? ?? ? ? ?????????????????????????1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k l st q q ??????? ? ? ? ? ??????? ?對于前 ls個獨立的廣義坐標，有 : 第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 30 對于其余 s個非獨立的廣義坐標， 可以選取合適的 待定 乘子，可得 : 1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k l s lt q q ??????? ? ? ? ? ? ??????? ?綜合上述兩式，可以得到 l個動力學方程 : 1d 0 ( 1 , )dsk j jkkk jTTQ B k lt q q ??????? ? ? ? ??????? ?其中的待定乘子稱為 拉格朗日乘子 。 方程是否可解？ 此時，系統(tǒng)的變量除各廣義坐標外，還包括待定乘子，需補充約束方程聯立求解。這類方程也稱為 “ 微分 /代數混合方程組 ” 第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 31 jkB拉氏乘子的個數： 1d 0 ( 1 , )dskjkk jjkTTQ k lt q q B??????? ? ? ? ??????? ?約束方程的個數 虛位移約束方程的系數 j對應于第 j個約束方程， k對應于第 k個廣義坐標 對于 r個完整約束： 10 ( 1 , 2 , )l jk kkB q j s?????jjkkfBq???12( , , ) 0jlf q q q ?對于 s個非完整約束： 10l jk kkBq???第一類拉氏方程 2022年 2月 17日 Page 32 O x y v ? C 冰刀： 初始條件： 0( 0 ) 0 。 ( 0 ) 0 。 ( 0 ) 0( 0 ) 。 ( 0 )xyxv???? ? ???2 2 21 ()2T m x y J ?? ? ?約束方程： c os si nyx???動能： 10l jk kkBq????1d 0dsk j jkkk jTTQBt q q ??????? ? ? ??????? ?c os si n 0yx?? ????111si nc os0xyBBB ???????s i n 0cos 00mxmy??????????方程的物理意義！ 第一類拉氏方程 （ 例 ） 2022年 2月 17日 Page 33 設一質點在固定曲面上運動，約束方程為： 1 2 3( , , ) 0f x x x ?則第一類拉氏方程為： ( ) 0 ( 1 , 2 , 3 )i i iifF m x ix??? ? ? ??或： ( ) ( 1 , 2 , 3 )i i iifm x F ix??? ? ??而牛頓第二定律： ( 1 , 2 , 3 )i i i im x F N i? ? ?故： ( ) ( 1 , 2 , 3 )iif Nix?? ???乘子正比于約束力。 拉氏乘子的物理意義 2022年 2月 17日 Page 34 設在由 N個質點組成的系統(tǒng)上作用有 r個完整約束和 s個非完整約束，將這些約束統(tǒng)一寫成虛位移形式： 310 ( 1 , 2 , )N j i iiA x j r s??? ? ??定理 ：對于上述系統(tǒng)，約束是理想的充要條件為：系統(tǒng)的約束力可以表示為： 1( 1 , 2 , 3 )rsi j jijR A i N??????證明 ：充分性： 31NiiiW R x???? ? 311()N r s j j i iijAx?????? ?? 311()r s Nj j i ijiAx?????? ??0?拉氏乘子的物理意義 2022年 2月 17日 Page 35 必要性： 310 ( 1 , 2 , )N ji iiA x j r s??? ? ??310N iiiW R x??????331 1 10N r s Ni i j ji ii j iR x A x? ? ??? ? ??? ? ?－311( ) 0N r si j j i iijR A x??????? ???????－131) :( 0N r s rsijiji ijRA x?
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