[理學]第七章留數(shù)定理及其應用(編輯修改稿)
2025-02-15 15:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 c o s11ddddI161)(2 ??? zzzf????? ?????????? ???????1212202 1641622co s11zz zzdzidzzizzzdI ? ??223 ???z223 ???z 1?zzz 2 1co s2 ??? dzzid ????iez?? ?? ?24162116123res2232232???????????????zzzzzf??????224 8)23(re s24co s1 1202 ?????????? ? fiidI???????????????????????12122021)24(12112121s in1zzdzzazidzzizzadxxI?? 例題 解 計算積分 0,s in1202 ??? ? adxxI??dzzid ???令 ??? ?????????????020202 c o s1212c o s122s in1 dadxxadxxaIzz 2 1co s2 ????iez? 有一階極點 只有 在 內(nèi) 1)24(1)(2 ???? zazzf aaaz ???? 22121?z aaaz ???? 2212? ?aaazaaafiidxxIaaaz??????????????????221222022)24(212212r e s2s i n12????? 在上半平面補上以圓點為圓心 R 為半徑的弧 CR，則 [R, R]+CR 形成閉合圍道，應用留數(shù)定理計算閉合圍道積分后令 R→ 0。 無窮積分 ① 將實變函數(shù) f(x) 延拓為 f(z) ② 補上適當?shù)姆e分路徑，形成閉合圍道 ?????? dxxfI )(計算方法： R? RoRC 例題 解 計算積分 ????? ?? dxxI 22 )1( 1iz?2222111i)(zi)(z)z(f (z ) ?????在上半平面只有一個二階極點 iizizdzdizizizdzdifiziziz41)(2l im)(1l im)()(1)(l im)(res32222?????????????????????????)(r e s2)1()1(1)1(1222222 ifizdzdxxdzzRCRRC??????? ??? ??0)1( 1lim 22 ???? zzz因為 由 引理二 （第三章）知 0)1(1lim22 ?????RCR z所以 2)1(122???? ?????dxxIR? RoRCiizdzdxxRCRRRR 412)1(l im)1(1l im2222 ????? ?? ??????可見，無窮積分的被積函數(shù) f(z) 必須滿足： 1）在上半平面除有限個孤立奇點外，處處解析，實軸上無奇點； 2）在 內(nèi)，當 時， 一致的趨于 0。 即 ，使當 時， ??? za r g0 ??z )(zzf0)(,0 ???? ?? M ???? az a r g0,0??)( zzf 例題 解 計算定積分 ???? 0 411 dxxI4?iez ?411)()(zzfxf ???在圍道內(nèi)只有一個一階奇點 oiRRRC]0,[],0[ iRCR R ??作圍道 ???? ???????044044 )()(1111111RCRCiydiyzdzdxxdzzR?? ?????RCRzdzxdxi404 11)1( 4411res2?? iezzi????212i??? ?01 1li m 4 ????? zzR01lim 4 ?????RCR zdz （引理二） 所以 2121)1(04ixdxi ????? ?? ?即 42104?????xdx在上半平面內(nèi)有兩個一階極點 和 例題 解 計算積分 ????? ??? dxxxI42114?iez ?4211)()(zzzfxf????????????????????????????43442424211r e s11r e s211???iiezezzzzzidxxx43?iez ?011 42 ?????????? zzzz???????? ??????? 434323241412???iiezezzzzzi? ? ? ? ????????????????iiiii22222222 41412 ???????????????????????????434423432424141211???????iieziieziieeeeidxxx? ? ? ????????? ????????4)(14)(12 2 22 22 22 2 iiiii?4222 iii ???? ? ?2?只要知道 ，那么分別比較實部和虛部即可。 含三角函數(shù)的無窮積分 當 時， 和 行為復雜，故取被積函數(shù)為 ?????? p xd xxfI c o s)(計算方法： ????????????RRCi p zRRCi p zRRi p xCi z pdzezfdxpxipxxfdzezfdxexfdzezf)()s in)(c o s()()()(ipzezf )(pzpz s inc o s??? Rz或 0,s in)( ?? ?????ppx d xxfI?RCip z dzezf )(R? RoRC 設 ，當 時， Q(z) 一致的趨近于 0， 則 0)(lim ????RCi p zRdzezQ約當定理 定理 其中 p 0， CR 是以原點為圓心，以 R 為半徑的半圓弧。 ??z??? za rg0證明 ??? ideRdzCz iRi ???? ,Re?? ??? ?????? ?0)s i n( c o s)()( ideReeRQdzezQ iii p RiCi p zR???????????20sin0sin0sin2)()(????????????deRdeRRdeeRQdzezQpRpRpRiCi p zR∵ 時， 20 ?? ?? ??? 2sin ?∴ ? ?pRpRpRCi p z epdeRdeRdzezQR??? ???? ??? 122)(20220s i n ???????????可見 0)(lim ????RCi p zRdzezQ由復變積分性質(zhì)知： 2?o1??sin??????????kkbi p bkCi p zebfidzezfdxpxipxxf)(r e s2)()s in)( c o s(?當 f(x) 為偶函數(shù)時， f(x)cospx 為偶函數(shù)， f(x)sinpx 為奇函數(shù)。
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