【文章內(nèi)容簡介】
*** * **( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( )t P t t P t tP t t P t A t t P t B t tP t P t A t P t B t R t B t P t t????? ? ?? ? ?λ xxx x ux*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 7 1 )( ) ( ) ( ) ( 7 1 7 5 )t Q t t A t tt P t t?? ? ? ???λ x λλ x* * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t Q t t A t P t t Q t A t P t t?? ??? ? ? ? ? ???λ x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (7/10) 2) 充分性證明 。 已知 , 欲證 u*(t)為最優(yōu)控制 。 ? 引入如下等式 *1 τ *( ) ( ) ( ) ( ) ( )t R t B t P t t???ux000 0 01 1 1 d( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d2 2 2 d1[ ] d2fftf f f tttt P t t t P t t P ttP P P t? ? ??????? ? ???x x x x x xx x x x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (8/10) ? 進而 ,利用 (7160)和 (7166),上式可以進一步表示為 考慮到若取控制律為 u=R1B?Px ,對上述方程進行配方得 000 0 0111( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221{ [ ] } d21{ [ ] } d2fff f fttttt P t t t P t tA P P P A B P P B tQ P B R B P B P P B t??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???x x x xx x u x x ux x u x x u00 0 01111( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )221{ [ ] [ ] } d2ff f fttt P t t t P t tQ R R B P R R B P t??? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??x x x xx x u u x x x x0τ 1 τ0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 6 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 1 6 6 )1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] d2 2 2ftf f f tt A t t B t tP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q tt P t t t P t t P P P t? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??x x ux x x x x x x x x x最優(yōu)控制的充分必要條件 (9/10) ? 考慮到 P(tf)=F,可以導出 這表明 ,當 u=R1B?Px時 ,性能指標將取最小值 即 u*=R1B?Px為最優(yōu)控制 。 ? 于是 ,定理的充分性得以證明 。 ??? 00τ τ ττ 110 0 011[ ( ) ] ( ) ( ) [ ]2211( ) ( ) ( ) [ ] [ ] d22fftff tttJ t t F t Q R d tt P t t R B P R R B P t? ? ???? ? ?? ? ? ???u x x x x u ux x u x u x* τ0 0 01[ ( ) ] ( ) ( ) ( )2J u t t P t t? xx最優(yōu)控制的充分必要條件 (10/10) ? 上述具有充分必要的 最優(yōu)控制 實際上是 一個線性狀態(tài)反饋 ,因此 ,可以將線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制表示成如圖 76所示的狀態(tài)反饋形式 ,其 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 圖 76 線性系統(tǒng)最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器 ? 上述結(jié)論是 線性 時變 系統(tǒng) 的結(jié)論 ,當系統(tǒng)是 線性 定常 的時候 ,上述結(jié)論仍然成立 ,而且 計算還要簡單 。 * * 1 τ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )t K t K t R t B t P t?? ? ? ?ux( ) ( ) ( ) ( ) ( )t A t t B t t??x x u1 τ( ) ( ) ( ) ( )K t R t B t P t???x ( t )u ( t )矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (1/3) 2. 矩陣 P(t)的若干性質(zhì) ? 對黎卡提微分方程的解 P(t),有如下性質(zhì) 。 1) P(t)是黎卡提微分方程末值問題的解 ,與初始狀態(tài)無關(guān) 。 ? 當在區(qū)間 [t0,tf]內(nèi) A(t)、 B(t)、 R(t)和 Q(t)為分段連續(xù)的時間函數(shù) ,R(t)為正定且其逆矩陣有界 ,Q(t)矩陣為非負定時 , ? 則根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論 , ?P(t)的解在區(qū)間 [t0,tf]內(nèi) 唯一存在 。 τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (2/3) 2) 對于任意 t?[t0,tf], P(t)是對稱矩陣 。 ? 事實上 ,將黎卡提微分方程和邊界條件的兩邊作轉(zhuǎn)置 ,并考慮到 R(t),Q(t)和 F都為對稱矩陣 ,則有 ? 因此 ,矩陣 P(t)和它的轉(zhuǎn)置 P?(t)滿足同一個矩陣微分方程和邊界條件 。 ? 根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性理論 ,則對任意t?[t0,tf],有 P?(t)=P(t),即 P(t)是 對稱的 。 τ 1 τ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ffP t P t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q tP t P t F?????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???τ 1 τ0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]( ) ,ffP t P t A t A t P t P t B t R t B t P t Q t t t tP t F?? ? ? ? ? ??矩陣 P(t)的若干性質(zhì) (3/3) 3) 由于矩陣 P(t)的對稱性 ,則 n n維的黎卡提矩陣微分方程實質(zhì)上是一個由 n(n+1)/2個非線性標量微分方程組成的微分方程組 。 ? 因此 ,求解 P(t),只要求解 n(n+1)/2個非線性微分方程即可 。 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (1/13)— 定理 715 3. 最優(yōu)控制的 存在性 與 唯一性 ? 對于一般的最優(yōu)控制問題 ,論證最優(yōu)控制解的存在性是很困難的 ,但對于最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,可以證明最優(yōu)控制解的存在性和唯一性 。 ? 對此 ,有如下定理 。 ? 定理 715 對 線性時變系統(tǒng) 的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 ,當 tf?時 ,最優(yōu)控制 u*(t)存在 且 唯一 。 最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (2/13) ? 證明 (1) 存在性證明 。 ? 定理 714給出最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的 u*(t)的充分必要條件為 u*=R1B?Px ? 由于黎卡提微分方程末值問題的解 P(t)是唯一存在的 ,因此 ,u*(t)的存在性得證 。 (2) 唯一性證明 。 ? 用反證法證明 。 設(shè) u*(t)不唯一 ,為不失一般性 ,令 是同一最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制函數(shù)解 。 *1 ()tu 和*2()tu最優(yōu)控制的存在性與唯一性 (3/13) ? 由 P(t)的唯一性可知 , 分別為 式中 , 分別為對應(yīng)于控制量