[工學(xué)]第6章二次型(編輯修改稿)
2024-11-12 18:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 求一正交變換，將二次型 思考題 25 思考題解答 ,333351315 ???????????????A二次型的矩陣為解),9)(4()d e t( ????? ???? EA可求得,9,4,0 321 ??? ???的特征值為于是 A.111,011,211 321????????????????????????????????? ?? ppp對應(yīng)特征向量為26 將其單位化得,626161 111?????????? ???ppq ,02121222????????????ppq.313131 333?????????????ppq27 故正交變換為,31062312161312161 321321???????????????????????????????????????yyyxxx.94 2322 yyf ??化二次型為.1),( 321 表示橢圓柱面可知 ?xxxf28 一、拉格朗日配方法的具體步驟 用正交變換化二次型為標準形，其特點是 保 持幾何形狀不變 ． 問題 有沒有其它方法，也可以把二次型化 為標準形？ 問題的回答是肯定的。下面介紹一種行之有 效的方法 —— 拉格朗日配方法 ． 用配方法化二次型為標準形 29 1. 若二次型含有 的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同 樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線 性變換，就得到標準形 。 ixix??????????kkjijjiiyxyyxyyx? ?jiknk ,2,1 ?? 且?拉格朗日配方法的步驟 2. 若二次型中不含有平方項，但是 則先作可逆線性變換 0?ija),( ji ?化二次型為含有平方項的二次型，然后再按 1中方 法配方 . 30 解 323121232221 62252 xxxxxxxxxf ??????.,62252 323121232221并求所用的變換矩陣為標準形化二次型xxxxxxxxxf ??????例 1 312121 22 xxxxx ?? 322322 652 xxxx ????的項配方含有 x 1含有平方項 ? ? ?2321 xxx ??322322 652 xxxx ??? 322322 2 xxxx ???去掉配方后多出來的項 31 ? ? 3223222321 44 xxxxxxx ??????? ? ? ? .2 2322321 xxxxx ????????????????3332232112xyxxyxxxy令????????????3332232112yxyyxyyyx??????????????????????????????????321321100210111yyyxxx32 323121232221 62252 xxxxxxxxxf ???????.2221 yy ??所用變換矩陣為 ? ? .01,100210111??????????????? CC33 ,33212211??????????yxyyxyyx 令解 ,622 323121 xxxxxxf ???代入.8422 32312221 yyyyyyf ???? 得.,622 323121并求所用的變換矩陣成標準形化二次型xxxxxxf ???例 2 由于所給二次型中無平方項，所以 ??????????????????????????????????????????yyyxxx321321100011011即34 再配方，得 ? ? ? ? .6222 23232231 yyyyyf ???????????????333223112yzyyzyyz 令,233322311???????????zyzzyzzy .622 232221 zzzf ??? 得?????????????????????????????????????????zzzyyy321321100210101即35 所用變換矩陣為 ??????????????????????100210101100011011C.100111311?????????????? ?.02 ???C36 二、小結(jié) 將一個二次型化為標準形，可以用 正交變換 法 ，也可以用 拉格朗日配方法
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