[工學]第6章 二次型-預覽頁
【正文】 2222 , 434232413121化為標準形把二次型求一個正交變換xxxxxxxxxxxxfPyx???????二次型的矩陣為,0111101111011110???????????????????A它的特征多項式為19 .111111111111??????????????? EA有四列都加到第一列上三把二計算特征多項式 ,: ,1111111111111)1(??????????????? EA有四行分別減去第一行三把二 ,20 1000212022101111)1(?????????????????? EA1221)1( 2????????????.)1()3()32()1( 322 ???????? ?????.1,3 4321 ????? ????的特征值為于是 A,0)3(,31 ???? xEA解方程時當 ?21 ,11111??????????????????得基礎解系 .1111211?????????????????p單位化即得,0)(,1432 ????? xEA解方程時當 ???,1111,1100,0011232??????????????????????????????????????????????? ??? 可得正交的基礎解系22 單位化即得 ???????????????????????????????????????????????21212121,212100,002121432ppp于是正交變換為???????????????????????????????????????????????yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.3 24232221 yyyyf ????? 且有23 五、小結(jié) 1. 實二次型的化簡問題，在理論和實際中 經(jīng)常遇到，通過 在二次型和對稱矩陣之間建立一 一對應的關(guān)系 ， 將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩 陣化為對角矩陣 ，而這是已經(jīng)解決了的問題，請 同學們注意這種研究問題的思想方法． 2. 實二次型的化簡，并不局限于使用正交 矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運 算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種 方法 —— 拉格朗日配方法 ． 24 化為標準型，并指出 表示何種二次 ? ? 1, 321 ?xxxf曲面 . ? ?323121232221321662355,xxxxxxxxxxxxf?????? 求一正交變換，將二次型 思考題 25 思考題解答 ,333351315 ???????????????A二次型的矩陣為解),9)(4()d e t( ????? ???? EA可求得,9,4,0 321 ??? ???的特征值為于是 A.111,011,211 321????????????????????????????????? ?? ppp對應特征向量為26 將其單位化得,626161 111?????????? ???ppq ,02121222????????????ppq.313131 333?????????????ppq27 故正交變換為,31062312161312161 321321???????????????????????????????????????yyyxxx.94 2322 yyf ??化二次型為.1),( 321 表示橢圓柱面可知 ?xxxf28 一、拉格朗日配方法的具體步驟 用正交變換化二次型為標準形，其特點是 保 持幾何形狀不變 ． 問題 有沒有其它方法，也可以把二次型化 為標準形？ 問題的回答是肯定的。01111?nnnnaaaa????? ? ? ? .,2,1,011111nraaaarrrrr ????????這個定理稱為霍爾維茨定理． 定理 3 對稱矩陣 為正定的充分必要條件是： 的各階主子式為正，即 A A對稱矩陣 為負定的充分必要條件是：奇數(shù)階主 子式為負，而偶數(shù)階主子式為正，即 A46 正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì) 。 323121232221 xxxxxxxxx ?????測試題答案 . 232221 yyyf ????.1 .8 ??t.0 ?? ??四、
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