[工學]第6章 二次型-全文預覽
【正文】 11121222 ,?????????????稱為二次型 . 的二次齊次函數個變量含有定義 nxxxn , 1 21 ?. , 稱為是實數時當 fa ij 實二次型3 只含有平方項的二次型 2222211 nn ykykykf ???? ?稱為二次型的標準形（或法式）． 例如 ? ? 31232221321 4542, xxxxxxxxf ????都為 二次型； ? ? 232221321 44, xxxxxxf ???為二次型的標準形 . ? ? 323121321 , xxxxxxxxxf ???4 1．用和號表示 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,?????????????對二次型 ,aa ijji ?取 ,2 xxaxxaxxa ijjijiijjiij ??則 于是nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?.1,xxa jinji ij???nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ??? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?二、二次型的表示方法 5 2．用矩陣表示 nn xxaxxaxaf 1121122111 ???? ?nn xxaxaxxa 2222221221 ???? ??? 22211 nnnnnnn xaxxaxxa ???? ?)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax?????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx?????22112222121121211121 ),(6 ., 為對稱矩陣其中則二次型可記作 AAxxf T?,21212222111211??????????????????????????????nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA????????記? ??????????????????????????????nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx?????????2121222211121121,7 三、二次型的矩陣及秩 在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在 一一對應 的關系． 。 ,1 ACCBAfCyx. T??變?yōu)榈木仃囉傻渲炔蛔兒蠖涡徒浛赡孀儞Q12 有型把此結論應用于二次即使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩,.,1 ????? APPAPPPAT ? ?化為標準形使正交變換總有任給二次型定理fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 21,?????,2222211 nn yyyf ??? ???? ?? ? ., 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?13 用正交變換化二次型為標準形的具體步驟 。,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標準形則得作正交變換 14 解 1．寫出對應的二次型矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A?????????????????????????144241422217EA? ? ? ?918 2 ??? ??.,844141417 323121232221化成標準形通過正交變換將二次型Pyxxxxxxxxxxf???????例 2 15 從而得特征值 .18,9 321 ??? ???? ? 得基礎解系代入將 ,091 ??? xEA ??2．求特征向量 ? ? 得基礎解系代入將 ,01832 ???? xEA ???,)0,1,2(2 ?? T? .)1,0,2(3 ?? T?3．將特征向量正交化 ,11 ?? ? 取.)1,1,21(1 T??,22 ?? ?? ?? ? ,2223233 ??????? ??得正交向量組 .)1,54,52(3 ??? T?,)0,1,2(2 ?? T? ,)1,1,21(1 T??16 ? ? ,3,2,1, ?? iiii ???令得,051522?????????? ??? ,3232311???????????? .4554544523??????????????.45503245451324525231??????????????P 所以4．將正交向量組單位化，得正交矩陣 P17 于是所求正交變換為 ,45503245451324525231321321??????????????????????????????????yyyxxx.18189 232221 yyyf ???且有18 解 例 3 .22
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