[工學(xué)]第6章 二次型(文件)
【正文】 是否為正定矩陣矩陣試判定分塊階正定矩陣階分別為設(shè)???????BACnmBA52 思考題解答 . 是正定的C解于是量不同時為零向則若維列向量維和別是分其中維向量為設(shè)因為,0,),(, yxznmyxnmyxz TTT????????????????yxBAyxCzz TTT 00),(,0 ??? ByyAxx TT., 為正定矩陣故是實對稱陣且 CC53 21 2 3 1 3 2( , , ) 2 .f x x x x x x??用 正 交 變 換 化為 標 準 形例.001010100,001010100),(),(321321321?????????????????????????????????AAxxxxxxxxxxxfT得實對稱矩陣解 第一步 將 表成矩陣形式 f54 .1,1,0)1()1(.3212??????????????? 得由的所有特征值求出第二步AEA.010,101 ,0)(.211??????????????????????????? 得它的基礎(chǔ)解系解方程組求正交矩陣第三步xAET55 .010,2/102/1,0],[2221112121????????????????????????????????????得將它們單位化正交與?得單位化得它的基礎(chǔ)解系解方程組,101 ,0)(33???????????????? xAE56 .2/102/1333????????????????.100010001,),(,132121331為對角陣且為正交矩陣令正交與??????????????????ATTTT ?????????.)(.232221 yyyyyyATTyfTyxTTT ???????作正交變換第四步57 2 2 21 2 3 1 2 3 1 22 3 1 3,.( , , ) 2 1 0 28. 2f x x x x x x x xx x x x? ? ? ???用 配 方 法 化 二 次 型 為 標 準 形 并 求 相 應(yīng) 的 線性 變 換例解 xxxxxxxxxxxfxf3223223212132118102)](2[),(.,??????應(yīng)的線性變換并作相的項集中進行配方中含將第一步58 xxxxxxxxxxxx322322322322321218102)(])()(2[??????????.69)( 322322321 2 xxxxxxx ????????????????,33223211xyxyxxxy作線性變換,100010111 , 11???????????? pxpy即59 .69),( 32232221321 yyyyyxxxf ????得.,69 232232221并作相應(yīng)的線性變換項集中進行配方的中含將第二步 yyyyyyf ????, 2221 為所求標準形得 zzf ??,100310001,3,223332211?????????????????????PyPzyzyyzyz即令.)( 12 xPPPyz ??相應(yīng)的線性變換為.)3( 32 221 yyyf ???60 ? ?的矩陣是二次型232123222143212432,.5xxxxxxxxxxxf?????? ?.4225,.6323121232221321是正定的實二次型時當xxxxxtxxxxxxxf??????第六章 測試題 一、填空題． 對應(yīng)的二次型是矩陣?????????????314122421.7 A61 二、計算題 ? ?.222, .8323121232221321是負定的二次型時滿足當xxxxxxtxtxtxxxxft??????? ?.444,)6(.5323121232221321化為標準型將二次型分xxxxxxxxxxxxf??????四、設(shè)二次型 313221232221 222 xxxxxaxxxxf ?????? ?經(jīng)正交變換 化成 QYX ? 2321 2 yyf ??? ? ? ?., 321321??試求常數(shù)是三階正交矩陣量是三維列向其中QyyyYxxxX TT ??62 。下面介紹一種行之有 效的方法 —— 拉格朗日配方法 ． 用配方法化二次型為標準形 29 1. 若二次型含有 的平方項，則先把含有 的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同 樣進行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線 性變換，就得到標準形 。,.1 AAxxf T 求出將二次型表成矩陣形式 ? 。1 第 6章 二次型 2 第一節(jié)二次型 一、標準形的概念 ? ?nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,131132112222222
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