第六章二次型(編輯修改稿)
2024-08-16 21:26 本頁面
【文章內容簡介】 ??????????????????????????????????zzzyyy32131100210101即所用變換矩陣為 ??????????????????????100210101100011011C.100111311?????????????? ?.02 ???C????????????????????????????????321321100011011yyyxxx???????????????????????????????321321100210101zzzyyy.622 232221 zzzf ???得, 1 ??? APPPA使總有正交矩陣陣由于對任意的實對稱矩? ?化為標準形使正交變換總有任給二次型fPyxaaxxaf jiijnjijiij, 1,??? ??,2222211 nn yyyf ??? ???? ?.)(, 21 的特征值的矩陣是其中 ijn aAf ???? ?定理 2 .??APP T即 P114 定理 10 用正交變換化二次型為標準形的具體步驟 : 。 .1 A求出二次型的矩陣。,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出 。,.3 21 n??? ?征向量求出對應于特征值的特 ? ?。,,,.4212121nnnC ?????????????記得單位化正交化將特征向量 .,.52211 nn yyffCyx?? ?????的標準形則得作正交變換 解 1．寫出二次型的矩陣，并求其特征值 ?????????????????144241422217A17 ? ? 14 14 ? ? ? ? ? 4 2 4 ? 2 2 2 A ?E ? ? ? ?918 2 ??? ??.,844141417 323121232221化成標準形通過正交變換將二次型Pyxxxxxxxxxxf???????例 4 從而得特征值 .18,9 321 ??? ???? ? 得基礎解系代入將 ,091 ??? xEA ??2．求特征向量 ? ? 得基礎解系代入將 ,01832 ???? xEA ???,)0,1,2(2 ?? T? .)1,0,2(3 ?? T?3．將特征向量正交化 ,11 ?? ? 取.)1,1,21(1 T??,22 ?? ?? ?? ? ,2223233 ??????? ??得正交向量組 .)1,54,52(3 ??? T? ,)0,1,2(2 ?? T? ,)1,1,21(1 T??? ? ,3,2,1, ?? iiii ???令得,051522?????????? ??? ,3232311???????????? .4554544523??????????????.45503245451324525231),( 321??????????????? ???P取4．將正交向量組單位化，得正交矩陣 P91 ?? 182 ?? 183 ??于是所求正交變換為 ,45503245451324525231321321???????????????????????????????????yyyPyxxx.18189 232221 yyyf ???且有91 ?? 182 ?? 183 ?? .18189????????????PyxP ?? ),( 213 ???若取?f 則 .18918 232221 yyy ??(2)指出 表示何種二次曲面 . ? ? 1, 321 ?xxxf(1)求參數(shù) a及二次型所對應的矩陣的特征值； ? ? 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 6 6 2 a 5 5 , , x x x x x x x x x x x x f ? ? ? ? ? ? 已知二次型 例 5 解 a 3 3 3 5 1 3 1 5 ? ? ? ? ? A 二次型的矩陣為 (1) 因 R(A)＝ 2，所以 |A|＝ 0，解得 a＝ 3. 的秩為 2， ), 9 )( 4 ( | | ? ? ? ? ? ? ? A ?E 可求得 ,9,4,0 321
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