【文章內(nèi)容簡介】 因此是非線性的，然而，因為每個平方項的系數(shù)是正的，并且沒有交叉乘積項，所以目標函數(shù)是凸函數(shù)。因此，我們保證局部最小值也是整體最小值。 ? 圖 88給出了 LINGO解。目標函數(shù)的最優(yōu)值是 893，即回報差值的平方和。投資組合要求約 30%的基金投資于外國股票基金（ FS= 337 7）， 36%的基金投資于大市值價值基金（ LV= 981 5）， 23%的基金投資于小市值成長基金 (SG= 551 7)，并且 11%的基金投資于小市值價值基金 (SV= 129 1)。 ? LOCOL OPTIMAL SOLUTION FOUND. ? OBJECTIVE VALUE ? Total solver iterations: 13 ? Variable value reduced cost ? R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? R5 ? FS ? IB ? LG ? LV ? SG ? SV ? ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICE ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 圖 88 Hauck金融服務(wù)公司問題的 LINGO解 ? 表 83顯示了對每種方案投資組合回報 (見圖 88中的 R R R R R5)與標準普爾 5000回報的比較。注意投資組合的回報對標準普爾 500回報的接近度。基于歷史數(shù)據(jù)， Hauck混合共有基金的投資組合確實很接近標準普爾 500股票指數(shù)的回報。 ? 表 83 投資組合回報與標準普爾 500回報 ? 方案投資組合回報標準普爾 500回報 12 3010 ? 我們剛舉例說明了非線性規(guī)劃在金融領(lǐng)域的一個重要應(yīng)用。在下一節(jié)，我們將說明在要求最低水平收益的約束條件下，如何用 Markowitz模型構(gòu)建一個投資組合，來最小化風(fēng)險 ? Markowitz投資組合模型 ? Harry Markowitz 因他為投資組合最優(yōu)化做出的突出貢獻，而榮獲了 1990年諾貝爾獎。 Markowitz軍方差投資組合模型是非線性規(guī)劃 deep一個經(jīng)典應(yīng)用。在這一節(jié)，我們介紹 Markowitz軍方差投資組合模型。這個基本模型的大量變種已被全世界的貨幣管理公司采用。 ? 大部分投資組合最優(yōu)化模型必須在風(fēng)險與回報之間做出一個關(guān)鍵權(quán)衡。為了得到更大的回報，投資者必須面對更大的風(fēng)險。上一節(jié)中的指數(shù)化基金模型被動地管理權(quán)衡。在我們構(gòu)建的指數(shù)化基金中的投資者一定滿足于標準普爾 500的風(fēng)險 /回報特征。其他投資組合模型明顯量化了風(fēng)險與回報之間的平衡。在大部分投資組合最優(yōu)化模型中，使用的回報是可能結(jié)果的期望收益（或平均數(shù)）。 ? 考慮在上一節(jié)建立的 Hauck金融服務(wù)公司的例子。 5個方案代表了在一年期計劃水平上的可能結(jié)果。每種方案的回報分別由變量R R R R4和 R5定義。在 n個可能方案中，如果 ps是方案 S的概率，那么投資組 ? ???nsssRPR1 測量風(fēng)險的難度有點兒大。整部書都致力于這個話題。最常與 Markowitz投資組合模型相關(guān)的風(fēng)險測量是投資組合的方差。如果期望收益由等式（ 88）給出，那么投資組合方差是 ? 在 Hauck金融服務(wù)公司例子中， 5個計劃方案有一樣的概率。因此。 ? ? 21RRPV a r snss ?? ??? ? 251251)(5151 ????????ssssRRRRV a r? 投資組合方差是每種方案下對均值偏差的平方和的平均數(shù)。這個數(shù)目越大，方案收益在他們的平均值周圍分散得越廣。如果投資組合的方 ? 構(gòu)建 Markowitz模型的兩個基本方法是：（ 1）在投資組合期望收益的約束條件的限制下，最小化投資組合的方差；（ 2）在方差約束條件的限制下，最大化投資組合的期望收益。考慮第一個例子。假定 Hauck的客戶想要對表 82列出的 6種共有基金構(gòu)建一個投資組合，來最小化由投資組合方差測量的風(fēng)險。但是，客戶也要求預(yù)期的投資組合收益至少為 10%。用我們的符號表示，目標函數(shù)為 ? ≥10。完整的 Markowitz模型包含 12個變量和 8個約束條件（不包含非負約束條件）。 ? ?25151m i n ???ss RR? ?25151m i n ???ss RR? . ? +++++=R1 （ 811） ? + ++++=R2 （ 812） ? + +++ =R3 （ 813） ? ++ ++ =R4 （ 814） ? + +=R5 （ 815） ? FS+ IB+ LG+ LV+ SG+ SV=1 (816) ? (817) ? ≥10 （ 818） ? FS, IB, LG, LV, SG, SV ≥0 （ 819） ? Markowitz模型的目標是最小化投資組合額方差。注意式（ 811）到式（ 815）出現(xiàn)在第 指數(shù)化基金模型中。這些式子定義了每種方案的回報。等式（ 816），也出現(xiàn)在指數(shù)化基金模型中，要求所有的錢投資于共有基金；這個約束條件常稱做整體約束條件。等式（ 817合的期望收益。等式（ 818）要求投資組合收益至少為 10%。最后，表達式（ 819）要求對每個 Hauck共有基金都是非負投資。 ? 這個模型要求至少 10%的收益，其 LINGO解的一部分如圖 89所示。投資組合方差的最小值是 15.這個解意味著客戶將得到 10%的期望收益（ RBAR= 00），并且能最小化他們的用投資組合方差測量的風(fēng)險，這需要投資組合的約 16%投資于外國股票基金（ FS= 407 4）， 53%于中期債券基金（ IB= 479 5）， 4%于大市值成長基金（ LG= 650 2E01） ,以及 27%于小市值價值基金（ SV= 048 0）。 ? Local optimal solution found. ? Objective Value: ? Total solver iterations: 19 ? Variable Value Reduced Cost ? R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? R5 ? FS ? IB ? LG ? LV ? SG ? SV ? 圖 89 要求至少 10%收益的 Hauck最小方差投資組合的 LINGO解 Markowitz投資組合模型為投資者提供了一個方便的方法來權(quán)衡風(fēng)險和收益。在實踐中，這個模型對不同收益進行典型的迭代求解。圖 810表示隨著要求的期望收益以 1%的步長從 8%增加到 12%，對應(yīng)每個要求的期望收益投資組合方差的最小值。在金融領(lǐng)域，這個圖稱我餓誒效率限界。效率限界上的每個點是對每個給給定收益的最小可能風(fēng)險（由投資組合方差測量的）。通過查看效率限界的圖像，投資者能得到其最滿意的均方差平衡。 152025303540458 9 10 11 12要求的收益率（%）投資組合方差? 注釋與評論 ? 1. 投資組合中一種資產(chǎn)類型的總量的上限和下限能容易地被模仿。注意在圖 89中給出的解，投資組合中超過 50%的資金投資于中期債券基金。讓一種資產(chǎn)占投資組合如此大的比重，可能是不明智的。因此常常給投資于單個資產(chǎn)的投資組合百分比設(shè)定一個上限。同樣地，在投資組合中包含一種極端小量的資產(chǎn)，這可能也是不想被看到的。因此，可能有約束條件來要求資產(chǎn)的非零總量只少為投資組合比例的最小值。 ? 2. 在 Hauck的例子中，可用投資組合的 100%投資于共有基金。然而，方厭惡風(fēng)險的投資者常常喜歡把一部分錢投在像美國短期國庫券這樣的無風(fēng)險資產(chǎn)上。因此，許多投資組合最優(yōu)化模