【文章內(nèi)容簡介】 每個因素各取 7個水平 ， 選用 U7（ 74） 均勻設(shè)計表 ，取其中的第 3列 ， 實驗安排與結(jié)果見表 。 167。 多項式回歸 表 實驗設(shè)計與結(jié)果 實驗號 E D T A X 1 （ g ） 無水碳酸鈉X 2 （ g ） 焦亞硫鈉X 3 （ g ） 吸收度 y 1/ y 1 0 . 00 30 0. 6 1. 160 0. 862 2 0. 02 38 1. 2 0. 312 3. 205 3 0. 04 46 0. 4 0. 306 3. 263 4 0. 06 26 1 .0 1. 318 0. 759 5 0. 08 34 0. 2 0. 877 1. 14 0 6 0. 1 0 42 0. 8 0. 147 6. 803 7 0. 12 50 1. 4 0. 204 4. 902 167。 多項式回歸 首先做線性回歸 ， 回歸的計算程序參照例 ， 得回歸方程 y = + X1 X2 X3 回歸模型的 P值 =； 決定系數(shù) （ Rsquare） = % ； 調(diào)整的決定系數(shù)（ AdjRsq） = %。 可見線性回歸的效果不夠好，以下使用二次多項式回歸。 167。 多項式回歸 使用逐步回歸 ， 回歸方程的具體形式是： 2 2 20 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 31 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 y B B X B X B X B X B X B XB X X B X X B X X? ? ? ? ? ? ?? ? ?做變量替換轉(zhuǎn)化為 9個自變量的線性回歸 。 322331132112233322222111, ,XXXXXXXXXXXXXXX??????167。 多項式回歸 表 回歸變量表 X 1 X 2 X 3 X 11 X 22 X 33 X 12 X 13 X 23 y 30 38 46 26 34 42 50 900 1444 2116 676 1156 1764 2500 1. 960 167。 多項式回歸 這個線性回歸只有 7組觀測數(shù)據(jù)卻有 10個未知參數(shù)，需要使用逐步回歸逐個引入變量。 在 SPSS軟件逐步回歸模塊默認(rèn)的進(jìn)入變量 P值 =，剔除變量 P值 =，逐步回歸只進(jìn)行了一步就結(jié)束了，只選入了自變量 x2。為了更全面地了解回歸的效果，可以把進(jìn)入變量的條件放寬一些。 用 Option選項把進(jìn)入變量 P值改為 ，剔除變量 P值改為 ，重新做逐步回歸。 167。 多項式回歸 表 逐步回歸的輸出結(jié)果（ 2） Step 1 2 3 4 5 C ons t ant 2. 579 5. 957 7. 311 7. 873 9. 165 X2 Pro b F 0. 051 6 0. 004 0. 237 6 0. 053 0. 303 4 0 . 021 0. 312 6 0. 030 0. 378 0. 016 X22 Pro b F 0. 002 45 0. 100 0. 003 36 0. 033 0. 003 23 0. 048 0. 004 6 0. 019 X3 Pro b F 0. 292 0. 107 1. 115 0. 168 1. 430 0. 033 X23 Pro b F 0. 020 6 0. 251 0. 031 7 0. 039 X13 Pro b F 2. 33 0. 058 R s qua r e 83. 14 92. 12 97 . 11 98. 73 99. 99 167。 多項式回歸 22X 此時的逐步回歸共進(jìn)行了 5步 ， 依次選入了 X2， X22= ，X3， X23=X2 X3， X13= X1 X3共 5個變量 ， 共計算出 5個回歸模型 : 第一個回歸模型最先選入的是 X2， 說明無水碳酸鈉的含量是最重要的影響因素； 第二個回歸模型再選入的是 X22= ， 進(jìn)一步說明無水碳酸鈉的含量是最重要的影響因素 ， 并且說明 y與 X2的關(guān)系是非線性的 222 XXy ??? 容易求出此方程在 X2=≈ 48時達(dá)極小值 y=，比第 6號實驗值 y=。 22X167。 多項式回歸 再看第三個回歸方程： 3222 0 3 3 0 1 XXXy ???? 為使 y值最小 ， X3應(yīng)該最大 ， 取 X3=， X2的取值與 X3無關(guān) ， 容易求出此方程在 X2=≈ 45， X3=值 y=， 低于第 6號實驗值 y=。 167。 多項式回歸 第四個回歸方程是： 22 2 3 2 73 12 6 03 23 15 20 6y X X X X X? ? ? ? ? 在回歸方程含有 X3的兩項－ X3+ X2X3中 ， 當(dāng)X2≤ 54時是 X3的減函數(shù) ， 根據(jù)對第二和第三兩個回歸方程的分析 ， 兩個方程中 X2的最優(yōu)解分別是 48和 45， 所以有理由認(rèn)為 X2≤ 54， y是 X3的減函數(shù) ， X3越大 y越小 ， 因此取 X3=。 把 X3=，解得 X2的極小值是X2=≈ 44，所以第四個回歸方程的最優(yōu)組合是 X2=44，X3=，此時最優(yōu)預(yù)測值 y=，與第三個回歸方程的最優(yōu)解基本相同。 167。 多項式回歸 第五個方程是： 其中包含了變量 X1， 并且是作為與 X3的交互作用形式出現(xiàn) ， 說明 EDTA對實驗指標(biāo)本身沒有影響 ， 只是通過焦亞硫酸鈉對實驗產(chǎn)生弱的影響 。 仿照對第四個回歸方程求最優(yōu)解的方法 ， 首先確定 X1和 X3是 y的減函數(shù) ， 分別取最大值X1= X3=， 然后再解得 X2=≈41。 最優(yōu)預(yù)測值 y= － 0 ， 可以視為接近 0。 22 2 3 2 3 1 3 y X X X X X X X? ? ?167。 多項式回歸 比較第三 、 四 、 五這 3個回歸模型 ， 回歸方程的 決定系數(shù)分別 是： 、 、 %， 從回歸的效果看第五個回歸的效果最好 ， 但是有 6個估計參數(shù) ， 而 y的數(shù)據(jù)只有 7個 ， 所以估計的誤差會較大 。 第三 、 四兩個回歸模型的實驗條件基本相同 ， 預(yù)測值也很接近 ， 約為 ， 明顯小于第 6號實驗的吸收度y=， 是一組穩(wěn)定的好條件 ， 見表 。 167。 多項式回歸 最 優(yōu) 搭 配 回歸 模型 X1 （ g ） X 2 （ g ） X 3 （ g ） 最優(yōu) 預(yù)測值 二 三 四 五 0. 00 0. 00 0. 00 0. 12 48 45 44 41 0. 0 1. 4 1. 4 1. 4 0. 197 0. 074 0. 080 0. 000 表 吸收度的最優(yōu)實驗條件 167。 多項式回歸 本例的文獻(xiàn) [17]對吸收度 y值先取了倒數(shù)作為實驗指標(biāo) ，其數(shù)值越大越好 ， 然后建立回歸方程 。 這樣做的一個好處是避免了本例回歸模型五預(yù)測值為負(fù)值的情況 ， 但是回歸方程的效果不好 。 文獻(xiàn)中得到的最優(yōu)條件是 X1=、X2=3 X3=， 和本例第五個模型相差不大 。 167。 非線性模型 一、非線性最小二乘 yi = f (xi,θ)+εi , i=1,2,…, n （ ） 其中， yi是因變量， 非隨機(jī)向量 xi=(xi1,xi2,… ， xik) ′是自變量， θ=(θ0,θ1,… ， θp )′是未知參數(shù)向量， εi是隨機(jī)誤差項并且滿足獨立同分布假定，即 n),2, 1,j, (i j i , 0ji , ),co v (n , 2, 1,i ,0)E(2????????????????????jii167。 非線性模型 對非線性回歸模型 我們?nèi)允褂米钚《朔ü烙媴?shù) θ， 即求使得 ????niii xfyQ12)),(()( θθ達(dá)到最小的 θ ? ,稱為 θ 的非線性最小二乘估計。 167。 非線性模型 在假定 f 函數(shù)對參數(shù) θ 連續(xù)可微時，可以利用微分法， 建立正規(guī)方程組，求解使 Q( θ ) 達(dá)最小的 θ ? 。 將 f 函數(shù)對參數(shù) θ j 求導(dǎo)，并令為 0 ，得 p + 1 個方程： pjfxfyQ ni jjjiijjj,2,1,0 0?))?,((2?1???????????? ?? ???????稱為非線性最小二乘估計的正規(guī)方程組 也可以直接極小化殘差平方和 Q( θ ) ，求出未知參數(shù) θ 的非線性 最小二乘估計 θ ? 。 167。 非線性模型 在非線性回歸中，平方和分解式 SST=SSR+SSE 不再成立。類似于線性回歸中的復(fù)判定系數(shù)， 定義非線性回歸的相關(guān)比為： SSTSSER ?? 12相關(guān)比也稱為相關(guān)指數(shù)。 167。 非線性模型 二、非線性回歸模型的應(yīng)用 例 一位藥物學(xué)家使用下面的非線性模型對藥物反應(yīng)擬合回歸模型： iii ccxccy ?????????????12001 自變量 x是藥劑量，用級別表示； 因變量 y是藥物反應(yīng)程度，用百分?jǐn)?shù)表示。 3個參數(shù) c0、 c c2都是非負(fù)的，根據(jù)專業(yè)知識， c0的上限是 100%， 3個參數(shù)的初始值取為 c0=100， c1=5， c2=。測得 9個反應(yīng)數(shù)據(jù)如下： 167。 非線性模型 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y(%) X1086420Y10080604020020圖 藥物反應(yīng)程度散點圖 167。 非線性模型 在 SPSS的 Regression菜單下點選 Nonlinear，進(jìn)入非線性回歸對話框，將 y點入因變量框，在 model Expression框中輸入回歸函數(shù) c0c0/(1+(x/c2)**c1),然后點 Parameters進(jìn)入?yún)?shù)設(shè)置框賦給未知參數(shù)初值。 167。 非線性模型 Iteration Residual SS C0 C1 C2 1 2 3 4 5