二次型及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-24 12:06 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 實(shí)數(shù)域矩陣，使，其中。 需要注意的是，對(duì)于第（5）條，只判斷順序主子式的性質(zhì)并不能確保半正定性。例如就是負(fù)定的。2 二次型的應(yīng)用實(shí)例 二次型基于函數(shù)與矩陣的關(guān)系，能有效的解決函數(shù)、矩陣方面的問題。因此，拓廣二次型在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中的使用方式，能有效得體現(xiàn)出二次型的各項(xiàng)特性，并為充分認(rèn)識(shí)和使用二次型形成了條件?！《涡驮诔醯葦?shù)學(xué)中的應(yīng)用 在初等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的地位舉足輕重。因此，討論二次型在初等數(shù)學(xué)中關(guān)于函數(shù)的作用,既是對(duì)二次型的使用范圍進(jìn)行擴(kuò)充、對(duì)其使用方式進(jìn)行變通，同時(shí)也為解題思路提供了更多的方向。 二次型與因式分解 因式分解，即把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)多項(xiàng)式的乘積的形式的過程。對(duì)二次型而言，其函數(shù)表達(dá)式最高為二次，因此在討論因式分解時(shí)，其多項(xiàng)式次數(shù)大于三均不考慮?！ ‖F(xiàn)假設(shè)有二元函數(shù)表達(dá)式為 （）此時(shí)，存在二次型無法表達(dá)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，因此，將（）式擴(kuò)展為后，可得。下面，用矩陣表示出，可得取，其中是原二次型的規(guī)范型，而矩陣應(yīng)合同于規(guī)范型的矩陣?，F(xiàn)設(shè)出矩陣,是通過非退化線性變換得到，故對(duì)函數(shù)而言，只需對(duì)應(yīng)替換變量即可變換回。這就是說，要使原多項(xiàng)式可因式分解，只需可因式分解。此時(shí)，應(yīng)滿足：（1）（2）?？梢缘贸鲆韵露ɡ恚骸 1] 設(shè)存在實(shí)數(shù)域二次型，則可分解為兩個(gè)實(shí)數(shù)域的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充要條件為：秩為1，或者秩為2且符號(hào)差為0?！ ∠旅娼o出一個(gè)實(shí)例?！ ? 求解是否可以進(jìn)行因式分解？如果可以，請(qǐng)分解?！ 〗猓簩U(kuò)展為，則。，取,由非退化線性變換得，矩陣B的秩為1，故可在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解因式。最后可得?！《涡团c不等式的證明 對(duì)于不等式來說，一般都可以轉(zhuǎn)化為與0值的比較。因此，正定二次型或負(fù)定二次型是證明不等式的有力工具?！ ? 證明三元不等式成立（其中不同時(shí)為0）?！ ∽C：設(shè)函數(shù)。要證原不等式成立，只要證函數(shù)即可?！ ‖F(xiàn)取，的一階順序主子式，二階，三階表明矩陣是正定矩陣，對(duì)任意都有[3]。所以，原不等式成立?！《涡驮谇€上的應(yīng)用 設(shè)是正交矩陣，稱線性變換為正交變換?？疾炜臻g中向量的模，可得即是兩向量的長(zhǎng)度完全相同。這便說明，向量在經(jīng)過正交變換后，其長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變。因此，幾何體的整體形狀也不會(huì)發(fā)生改變。這讓以向量為主要研究載體的曲線（面）有了更加方便的研究方法。在此，給出定理： [4] 向量在經(jīng)過正交變換后，其長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生改變。進(jìn)而其幾何體形狀大小也不會(huì)發(fā)生變化?！ ? 化簡(jiǎn)二次曲線方程,并判斷其形狀大小。解：，我們令，再設(shè)三個(gè)變量的函數(shù)，則有。由此可得的矩陣 由合同變換，得到其標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣，其方程轉(zhuǎn)化為。，圖形整體形狀在正交變化下是不會(huì)發(fā)生改變的（），故有整理后可得。顯然，這是一個(gè)橢圓，且長(zhǎng)短軸分別為個(gè)單位和2個(gè)單位，其面積為。 橢圓的正交變換 在對(duì)例題進(jìn)行分析后，我們可以討論利用二次型對(duì)一般曲線的形狀判斷。設(shè)方程是二次曲線的一般方程，根據(jù)不同的參數(shù)設(shè)置，有如下情況： （1）或時(shí)，是只含有單一未知量的一元二次函數(shù)； （2）或時(shí)，方程可直接化為一般拋物線方程； ?。?）上述兩種外，可將原方程擴(kuò)充為三元二次方程從而形成二次型可解決的問題，即，其中。，則一定可以通過非退化線性變換變換為的形式，且不會(huì)改變?cè)匠瘫硎緢D形的形狀。因此，我們只需要討論（）即可： ?。╥）若，由于對(duì)稱性，我們?cè)O(shè)而（同時(shí)為0時(shí)，不滿足二次的要求）。此時(shí)上式即化簡(jiǎn)為 （） 當(dāng)（）式右邊值為負(fù)數(shù)，即時(shí)，圖像表示為兩條平行虛直線； 當(dāng)（）式右邊值為正數(shù)，即時(shí)，圖像表示為兩條平行實(shí)直線； 當(dāng)時(shí)，圖像為一條軸，事實(shí)上是兩條直線重合?！ 。╥i）在的情況下，我們從與0的關(guān)系開始討論， ?。╝），則。顯然，如果（即），那么圖像表示為兩條相交直線，且其夾角；如果（即），即在只有零解的情況下，其圖像為一個(gè)點(diǎn)； （b），我們可以將式子簡(jiǎn)化為，其中。 若且，則顯然是一個(gè)實(shí)橢圓圖像；當(dāng)且時(shí)，圖像為復(fù)數(shù)域上的虛橢圓。 若，不妨設(shè)，此時(shí)原式的等價(jià)于,其圖像是一個(gè)雙曲線。 綜上，我們已經(jīng)完成了對(duì)二次型在曲線形狀判定上的討論?！?
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