微積分解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-02-14 06:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解：設(shè)，則， 當(dāng)且時(shí)， 故在上單調(diào)遞減，而在與處都連續(xù)，且 ， 故 在上只有一個(gè)根． (2) 用曲線弧一端的切線來(lái)代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線法（牛頓法）． 例 求方程的近似解． 解 設(shè)，可以知道方程的唯一根在開(kāi)區(qū)間(1，2)之中，取x０＝2，牛頓法的迭代公式為 xn+1＝xn－＝xn－＝ ， 則 x１＝＝ x２＝＝ x３＝＝ 因此給定一個(gè)精確度，我們就可以求出該方程的近似解． 4．用導(dǎo)數(shù)證明不等式 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)．其主要思想是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式． 例 當(dāng)時(shí)，證明不等式成立． 證明：設(shè)，則． ∵∴ ∴在內(nèi)單調(diào)遞減，而， ∴， 故當(dāng)時(shí)，成立． 一般地，證明，可以構(gòu)造函數(shù)， 如果，則在上是減函數(shù)，同時(shí)若，由減函數(shù)的定義可知，時(shí)，有，即證明了． 例 （2007年安徽高考試題）設(shè)，．求證：當(dāng)時(shí)，恒有． 分析：此題要證明的不等式是由已知函數(shù)變形而來(lái)．所以證明此不等式，我們無(wú)需構(gòu)造新的函數(shù)，只需要通過(guò)研究已知函數(shù)的單調(diào)性，就可以使結(jié)論獲證． 解：對(duì)求導(dǎo)得：， 故， 于是，所以，當(dāng)時(shí)，． 因?yàn)?，所以的極小值． 不難求得，對(duì)一切，恒有． 從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加． 所以當(dāng)時(shí)，即． 故當(dāng)時(shí)，恒有． 5．用微積分知識(shí)證明恒等式 用微積分知識(shí)證明恒等式的實(shí)質(zhì)是將等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而求導(dǎo)證明恒等關(guān)系，依據(jù)． 例 證明 ． 證 設(shè) ， ． 則 ，?。 」省?60
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