【文章內(nèi)容簡介】 為有限多個。在時間 時， 系統(tǒng)的狀態(tài)的 的取值為 tS ? ?1 , 2 , 3 , , 。Sn? 時系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率只與時刻 時 系統(tǒng)所處的概率與轉(zhuǎn)移概率有關(guān)。 1t? t 滿足以上三個假設(shè)的系統(tǒng)的隨機(jī)發(fā)展過程稱為馬爾可 夫過程或馬氏鏈。 設(shè)在時刻 時系統(tǒng)處于狀態(tài) 的概率為 t i? ? , 1 , 2 , 3 , , 。 1 , 2 , 3 , .i t i n t? ??行向量 稱為狀態(tài)概率向量，由概率的意義，向量應(yīng)該滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?12 , , , nt t t t? ? ? ?? ⑸ 及 ? ? 0 , 1 , 2 , , , 0 , 1 , 2 , .i t i n t? ? ? ?⑹ ? ?11 . 0 ,1 , 2 , .niitt?????⑺ 設(shè)在時刻 處于狀態(tài) 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到 時刻處于 的概率為 它應(yīng)該滿足 t isjs1t?,ijp1. 0 , , 1 , 2 , , ,ijp i j n??11 , 1 , 2 , .nijjp i n????2. ⑻ 引如概率轉(zhuǎn)移矩陣 ? ?11 12 121 22 212.nnijnnn n nnp p pp p pPpp p p?????????????由假設(shè) 3，再由全概率公式得 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 211.1nnnnn n n n n nt t p t p t pt t p t p t pt t p t p t p? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ??⑼ 用矩陣的方法來表示的話，⑼可以寫成 ? ? ? ?11.ni j jijt t p????? ? 簡單地可以寫成 ? ? ? ? t P????由此可得系統(tǒng)在時刻 時的狀態(tài)向量為 t其中 為時刻 時系統(tǒng)的狀態(tài)概率向量，又稱為 狀態(tài)初始向量。 ? ?0? 0t ?? ? ? ?0, ttP??? ⑽ 例 在前兩例中，初始向量與概率轉(zhuǎn)移矩陣分別為 ? ? ? ?0 , ,? ? 0 .8 0 .2 ,0 .7 0 .3P ??? ????? ? ? ?0 0 .7 5 , 0 .2 5 , 0 ,? ? 8 2 5 5 .0 0 1P?????????我們通過下面的例子具體說明： ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 1 2 2 2 2 3 3 21,t t p t p t p? ? ? ?? ? ? ?上式表明在時刻 時投保人處于患病狀態(tài)的概率 為： 1t?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 1 12 2 22 3 32121 .t t p t p t ptt? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 從上面的例子中可以看出，對于馬氏鏈模型，最重要 的是構(gòu)造狀態(tài) 及概率轉(zhuǎn)移矩陣 由此對于給定的初始 狀態(tài) 由⑽可計算出任意時刻 的狀態(tài) S ,P? ?0,? t ? ?.t? 正則鏈 定義 一個有 個狀態(tài)的馬氏鏈，如果存在正整數(shù) 使從任意狀態(tài) 經(jīng) 次的轉(zhuǎn)移，能以大于零的概率到 達(dá)狀態(tài) 則稱這樣的鏈為正則鏈 . n ,N,i? N? ?, 1 , 2 , , .j i j n? ?定理 1 設(shè)馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為 則該鏈為正則鏈的 充分必要條件是存在 使得 ,P,N ?定理 2 正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率 ? ?12, , , ,nw w w w?滿足 與初始狀態(tài)概率 無關(guān)，且 ? ?l im ,t t w w??? ?? ?0?及 ,wP w? ⑾ 11.niiw???⑿ 例 1 設(shè) 0 .8 0 .2 ,0 .7 0 .3P ??? ????則由此確定的馬氏鏈為正則鏈。令 滿足 ⑾式，即有 ? ?12,w w w?? ? ? ?1 2 1 20 .8 0 .2, , ,0 .7 0 .3w w w w?? ?????由此得到方程組 1 2 11 2 2 , w w ww w w???? ???聯(lián)系⑿則得到 12122 7 0 ,2 2 2 ,wwww???? ???故方程組的解為 ? ?12 72, , .99ww ??? ????這和前面的結(jié)果是相吻合的。 例 2 設(shè) 11022111,42411022P?????????????????因 23 1 18 2 81110,4241 1 38 4 8P????????????????????故由此確定的馬氏鏈?zhǔn)钦齽t鏈。令 ? ?1 2 3, , ,w w w w?由方程⑾，⑿確定方程組 1 2 11 2 3 21 2 311,241 1 1,2 2 21.w w ww w w ww w w????????從方程中解出 即 1 2 31 1 1, , ,4 2 4w w w? ? ?? ?1 2 3 111, , , , .424w w w ??? ???? 吸收鏈 定義 如果存在某個狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 則稱狀態(tài) 是 吸收的 . 如果馬氏鏈中含有吸收狀態(tài) , 并且從每一個非 吸收狀態(tài)出發(fā)都可以達(dá)到某個吸收狀態(tài)，則稱這個馬氏 鏈為吸收鏈。 1,iip ? i 例如在前面三個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率中，轉(zhuǎn)移概率矩陣 為 8 2 5 5 .0 0 1P?????????并且從每個狀態(tài)最終都轉(zhuǎn)移到第三種狀態(tài) , 因而這樣的 鏈?zhǔn)俏真湣? 注 吸收鏈的特征是：任一狀態(tài)一旦進(jìn)入該狀態(tài)就 將停留在該狀態(tài)。 含有 個吸收狀態(tài)和 非吸收狀態(tài)的吸收鏈的 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式是 m nm?? ? ? ?0,mmnnn m n mIPRQ??? ? ???? ????其中 是單位矩陣。 0,RI?定理 3 對于具有標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，有如 下的性質(zhì)： ⑴ 矩陣 具有零極限，即 tQlim 0 .tt Q?? ?⑵ 矩陣 可逆且 IQ?? ? 10.ttI Q Q????? ?⑶ 記 則矩陣的第 行元素之和值是從非 吸收狀態(tài)出發(fā)被某個吸收狀態(tài)吸收之前的平均轉(zhuǎn)移次 數(shù)。 ? ? 1 ,N I Q ??? ii⑷ 記 則矩陣 的元素 是從非吸收狀態(tài) 出 發(fā)而被狀態(tài) 吸收的概率。 B NR? B bij ij1 0 0. 5 5 , 2 8 P????????? 在前面的例 2中 ,將 改寫成 P則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?11 , IQ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? , B ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 應(yīng)用 基因遺傳問題 生物的外部特征是由生物體內(nèi)的基因決定的。基因分 優(yōu)勢與劣勢基因兩種。分別表示為 對于生物的某 個外部特征，體內(nèi)有兩個基因與之對應(yīng)。由于體內(nèi)的每 個基因都可以是兩種基因之一，因此體內(nèi)的基因?qū)︻愋? 可能有三種： 分別被稱為優(yōu)種、混種和劣 種。按基因理論：含優(yōu)種和混種的基因個體類型，其外 部特征呈優(yōu)勢；而含劣勢基因類型的個體，其外部特征 呈劣勢。 ,.dr, , .dd dr rr 生物在繁殖時，后代隨機(jī)地繼承父親和母親的兩個基 因中的各一個而形成自己的基因?qū)?。因此后代成為?yōu) 種、劣種、混種基因類型的概率是不同的。 下面討論兩種基因繁殖后代的情況 一、永遠(yuǎn)與混種繁殖后代的情況 假設(shè)一個個體是優(yōu)種，而另一個個體是混種，則它們 的直接后代成為優(yōu)種 、混種 、劣種 的概率分別為 D H R11, , 0.22 假設(shè)一個個體是混種，而另一個個體是混種，則它們 的直接后代成為優(yōu)種 、混種 、劣種 的概率分別為 D H R111, , .424 假設(shè)一個個體是劣種，而另一個個體是混種，則它們 的直接后代成為優(yōu)種 、混種 、劣種 的概率分別為 D H R110, , .22由此得到概率轉(zhuǎn)移矩陣 11022111,42411022P?????????????????由前面的例 2知該鏈為正則鏈，極限狀態(tài)概率向量為 ? ?1 2 3 111, , , , .424w w w ??? ???? 上式表明，經(jīng)過長時間的繁殖過程，后代的外部特征 呈優(yōu)勢的概率是優(yōu)種和混種概率的和，這個量與初始的 個體所含基因的種類無關(guān)。 假設(shè)最初的父母可以是優(yōu)種、混種或劣種，它們有大 量的后代，這些后代又隨機(jī)地雌雄交配后代，今來分析 它們后代的演變情況。 由于每次繁殖都是隨機(jī)地配對父親和母親，而父親和 母親可以是 中的一種，組合后就有 六種狀態(tài)，分別記為 當(dāng)父母都是優(yōu)種 時，后代必然是優(yōu)種 因此有 ,D H R ,D D RR, , ,DH DR HH HR 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6.D ,D11 11 , 0. 2 , 3 , 4 , 5 , p j? ? ? 同理，當(dāng)父母都是劣種時，后代只能是劣種，由此得 22 21 , 0. 1 , 3 , 4 , 5 , p j? ? ? 當(dāng)父母一方為 而另一方為 時，當(dāng)前狀態(tài)可能是 因而再次配對產(chǎn)生的可能結(jié)果有 D H? ?,DH? ? ? ? ? ? ? ?, , , , , , , .D D D H H D H H因此，有 3 1 3 3 3 51 1 1, , .4 2 4p p p? ? ? 當(dāng)父母方為 對時，其后代只可能是 因而再 次配對之后之可能產(chǎn)生 所以 ? ?,DR ,H? ?,HH45 41 , 0. 1 , 2 , 3 , 4 , p j? ? ? 當(dāng)父母方為 對時，其后代可能是 ? ?,HH ? ? ? ?, , , ,d d