【正文】 1 2 ( 1 )Nm X R R ?? ? ? 在關(guān)系式 取 則有 ,N ? ?? ? 問題 3 生物種群的生長問題 某種生物群種的增長情況遵從著名的 Logistic方程 : ? ?1 1,n n np k p p? ??其中 是該種第 代的個(gè)體總量與該群體所能達(dá)到的 最大個(gè)體容量之比 . 為比例系 數(shù) . np n? ?0 1 0 , 1 , 2 , ,np n k? ? ? 注意到該方程是一個(gè)一階的非線性差分方程 . 在 Matlab下 , 對(duì)初始值 的不同取值 , 得到如下的結(jié) 果 : 0,kp⑴ k= 1. 5, p0 = 0. 5.⑵ k= 2. 5, p0 = 0. 5.⑶ k= 3. 2, p0 = 0. 5.⑷ k= 3. 4, p0 = 0. 5. 問題 4 減肥與飲食問題 一個(gè)女子每天攝入 2500卡的食物 ,其中 1200卡用于基 本的新陳代謝 , 并用每公斤體重 16卡為每日鍛煉的消耗 , 其它剩余的轉(zhuǎn)換成脂肪 . 設(shè) 10000卡等效為 1公斤脂肪 . 在星期六上午 , 她的準(zhǔn)確體重為 . 在周三她 飽餐了一頓 , 攝入了 3500卡的食物 . 試建立一個(gè)數(shù)學(xué)模 型求第 天的體重 并用它來作以下預(yù)測(cè) : n ,nW⑴ 到星期六時(shí)她的體重 ⑵ 為保持體重不變 , 每日應(yīng)攝入的熱量 。 ⑶ 周后她可減輕到的最小體重 。 N⑷ 若她想在 8周后減輕到 , 每天攝入量應(yīng) 如何限制 . 模型分析 我們不考慮由于吸入氧氣而產(chǎn)生的熱量 . 由于新陳代 謝及鍛煉所需的熱量為 故每天能轉(zhuǎn)化成脂 肪的熱量為 因而相應(yīng)的脂肪增加值為 12 00 16 .nW?13 00 16 .nW?? ?1 3 0 0 1 6 / 1 0 0 0 0 0 .1 3 0 .0 0 1 6 ,nnWW? ? ?從而第 的體重為 1n?1 0. 00 16 0. 13 0. 99 84 0. 13 .n n n nW W W W? ? ? ? ? ? ⑴ 設(shè)周六的體重為 則在下周二的 體重為 但當(dāng)天多攝入了 1000卡的 熱量 , 故周三的實(shí)際體重為 ? ?0 56 kg .W ?? ?2 5 7 .2 6 8 1 9 4 k g .W ?? ?430 .9 9 8 4 0 .2 3 5 7 .4 0 6 4 9 k g .WW? ? ?以它為初始值 ,可計(jì)算出周六的體重為 ? ?7 5 7 .4 8 2 7 2 8 k g .W ?⑵ 設(shè)每天的攝入量為常數(shù) 則模型為 , 欲使體重不變 , 即有 ,a若要維持體重不變 , 則 卡 . 2114a ?? ?1 1 2 0 0 1 6 / 1 0 0 0 0 .n n nW W a W? ? ? ? ? ⑶ 若完全拒絕飲食 , 但基本的新陳代謝需要維持及鍛 煉照常 , 因而有 1 984 ? ??從而有關(guān)系 ? ?100 .9 9 8 4 0 .1 2 1 0 .9 9 8 4 / 0 .0 0 1 6 .nnnWW? ? ? ?代入 周所需要的天數(shù) , 則可得到那時(shí)的體重 . N ⑷ 使用⑵中的模型 , ? ?1 12 00 16 / 10 00 0n n nW W a W? ? ? ? ?40 .9 9 8 4 1 0 0 .1 2 .nWa ?? ? ?或改寫成另一個(gè)形式 ? ? ? ? ? ?14 10 1 / 1 .nnnWWa? ?? ? ? ?欲使體重 8周后成為 代入上式 , 得 1 2344 ,nW ? ?? ?? ? ? ?12 00 16 50 .8 02 34 4 0. 99 84 57 .1 52 6 / 1 0. 99 84 .nna ?? ? ?代入 即可得到每天應(yīng)攝入的熱量數(shù) . 8 7 ,n ??下表給出了當(dāng) 時(shí)體重在第 周時(shí)的情況 . 第三列 表示希望在第 周時(shí)體重為某值的熱量攝入量變化值 表 . 0a? NN 周 （卡） 5 250 10 1156 20 1609 30 1759 40 1833 50 1877 N ? ?? ?0 k gNWa ?a 問題 5 數(shù)列與黃金分割 F ibo nac c i 問題的提出 提出了這樣一個(gè)問題 : 一對(duì) 小兔子二個(gè)月后可以生兔子 , 而成熟兔子每月可生一對(duì) 小兔子 . 假如去年 12月底養(yǎng)一對(duì)小兔子 , 問到今年年底 共有多少對(duì)兔子 . F ibo nac c i121234 13個(gè)月份中的兔子的對(duì)數(shù)如下表 所示 : 12 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 5 8 13 7 8 9 10 11 12 21 33 55 89 144 233 13個(gè)月份中的兔子的對(duì)數(shù) 以 表示各月份中兔子的對(duì)數(shù) , 則 有關(guān)系 ? ?0 , 1 , 2 , , 1 2iFi ?0 1 2 4 51 , 1 , 3 , 5 , 8 ,F F F F F? ? ? ? ?定義 稱數(shù)列為 為 數(shù)列 , 若數(shù)列有關(guān)系 : ? ?nF F ibo nac c i? ?2101 0 , 1 , 2 , 3 , ,1.n n nF F F nFF??? ? ? ??????? 法國數(shù)學(xué)家奇拉特在 死后 400年時(shí)證明了 F ibo nac c i111 1 5 1 5.225nnnF????? ? ? ??????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? 從而證明了 11l im 0 . 6 1 8 , l im 1 . 6 1 8 ,nnnnFF ?? ? ? ???? 黃金分割與斐氏數(shù)列 黃金分割據(jù)說是由達(dá)芬奇首先提出的 . 所謂黃金分割 指的是按中外比割的 . 即在下圖中滿足關(guān)系 A M B.M B A MA M A B?記 , , ,AB a AM X M B a x? ? ? ?則有 ,a x xxa? ?即有 解此方程得 22 0,x ax a? ? ?224 5 10. 61 8 .22a a ax a a? ? ? ?? ? ?三、馬氏鏈及其應(yīng)用 我們知道，人壽保險(xiǎn)公司最為關(guān)心的是投保人的健康 與疾病以及相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)。通過下面的例子我們來看保險(xiǎn) 公司是如何處理這類問題的。 問題的提出 設(shè) 表示年齡的時(shí)段，假定在一年中，今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年轉(zhuǎn)為健 康的概率為 假設(shè)一個(gè)人在投保時(shí)處于健康狀態(tài)，我 們來研究若干年之后他分別處于這兩種狀態(tài)的概率。 1 , 2 , 3 ,t ?, 建模 用隨機(jī)變量 表示第 年的狀態(tài)， nX n12nX ?? ??表示健康， 表示疾病。 1 , 2 , 3 ,n ?以 表示第 年?duì)顟B(tài)為 的概率。即 ? ?n i? n i? ? ? ? .nni P X i? ?? ⑴ 以 表示今年?duì)顟B(tài)處于 明年?duì)顟B(tài)處于 的概率，即 ijp i j? ?1 .ij n np P X j X i?? ? ?由全概率公式得到： ? ? ? ? ? ?1 , , 1 , 2 .n n ii n jii i p j p i j? ? ?? ? ? ?⑵ 即 ? ? ? ? ? ?1 11 211 1 2 ,n n npp? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 1 2 2 22 1 2 .n n npp? ? ?? ??由假設(shè)， 1 1 1 2 2 1 2 20. 8 , 0. 2 , 0. 7, 0. 3 ,p p p p? ? ? ?⑶ 再由于投保人處于健康狀態(tài)，即 ? ? ? ?001 1 , 2 0 .????由此得到 ? ?? ?0 1 2 3 41 1 0. 8 0. 78 0. 77 8 0. 77 78 7 / 9 .2 0 0. 2 0. 22 0. 22 2 0. 22 22 2 / 9nnn???若投保人在開始時(shí)處于疾病狀態(tài)，即 則有 ? ? ? ?001 0 , 2 1 .????? ?? ?0 1 2 3 41 0 0. 7 0. 77 0. 77 7 0. 77 77 7 / 9 .2 1 0. 3 0. 23 0. 22 3 0. 22 23 2 / 9nnn??? 從兩張表中可以看到，無論投保人在初始時(shí)處于什么 狀態(tài)，當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，該時(shí)刻的狀態(tài)趨于穩(wěn)定， 且與初始值無關(guān)。即 ? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ???1 2 兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 意義 若將眾多投保人處于兩種狀態(tài)的比例，視為投 保人處于兩種狀態(tài)的概率，例如健康人占 3/4，病人占 1/4，即 則同樣可計(jì)算出 ? ? ? ?001 3 / 4 , 2 1 / 4 ,????? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ??? 由上面的分析可以看出，對(duì)于給定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 時(shí)的狀態(tài)概率， 趨向于穩(wěn)定值，該 值與初始值無關(guān)，這是馬氏鏈的重要性質(zhì)。 ? ? ? ?1 , 2nn??n ?? 把人的死亡看作第三種狀態(tài)，用 來表示，相 應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率如下圖表示。 3nX ?1 2 31 三種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 仍以 表示狀態(tài) 為 時(shí)的概率， 表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概 率，即有 ? ? ? ?1 , 2 , 3n ii? ?i ijp1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 30 .8 , 0 .1 8 , 0 .0 2 ,0 .6 5 , 0 .2 5 , 0 .1 ,0 , 1 ,p p pp p pp p p? ? ?? ? ?? ? ?平行于⑴式，有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 11 1 2 3 ,n n n nppp? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 3 22 1 2 3 ,n n n nppp? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 3 2 3 33 1 2 3 ,n n n np p p? ? ? ?? ? ? ? 設(shè)投保人在期初處于健康狀態(tài)，則由⑷可計(jì)算出若干 年后他處于各個(gè)狀態(tài)的概率。 ⑷ ? ?? ?? ?0 1 2 3 30 501 1 57 28 5 69 8 12 93 02 0 8 89 83 5 68 0 32 6 03 0 2 54 88 0 62 1 38 1 1nnnn???? 表中最后一列數(shù)據(jù)是通過預(yù)測(cè)得到的。從表中的數(shù)據(jù) 又可以看到，無論投保人在期初處于什么狀態(tài)，當(dāng) 時(shí)，總有 n ??? ?l im 3 1 .nn ??? ? 假設(shè) 0 , 1 , 2 , 3 , 。t ? ，系統(tǒng)的狀態(tài)