【正文】 在渡河過程中，此岸的商人個數(shù)為 隨從個數(shù)為 以 表示此岸的狀態(tài)向量，即 ,x,y ? ?,xy? ?? ?, , 0 , 1 , 2 , 3 .E x y x y??在 中有一部分對商人是安全的，稱為容許狀態(tài)集合， 記為 即有 E,S? ? ? ??? ? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 。連續(xù)模型進行離散化所得到的數(shù)學(xué)模型不在此討 論。 一、過河問題 問題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過河， 這條船每次最多只能容納兩個人，并且由于某種原因， 商人們總是提防著隨從們，預(yù)感到一旦在任何地方只要 隨從人數(shù)多于商人數(shù)，就會對商人構(gòu)成危害。 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 , 2 .S y y y yx y x y? ? ???xyo 1 2 312 在上圖中 , 實點即表示為容許狀態(tài)的集合 . 乘船的方案稱為決策，仍然用向量 來表示， 即 名商人和 名隨從同坐一條船 . 在這些決策中 , 有 ? ?,xyx y? ?? ?, 1 2 .D x y x y? ? ? ?是符合條件的，稱為容許決策。當 為奇數(shù)時，表示從此岸到 彼岸，當 為偶數(shù)時，表示從彼岸到此岸。黃色曲線弧表示向彼岸渡人，綠色曲線弧表示 從彼岸返回。 序號 狀態(tài) 決策 序號 狀態(tài) 決策 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 ? ?3,3 ? ?0,2? ?0,1? ?3,2? ?3,1? ?0,2? ?3,0 ? ?0,1? ?3,1 ? ?2,0? ?1,1 ? ?1,1? ?2,2 ? ?2,0? ?0,2 ? ?0,1? ?0,3 ? ?0,2? ?0,1 ? ?0,1? ?0,2 ? ?0,2? ?0,0 分析 從上表中可以看到，該方案是可行的。 :nC不同年齡段的此種生物的繁殖和死亡率有下表所示 : 組別 繁殖率 死亡率 0 BAC由此得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及關(guān)系表達式 1110 0 .3 0 .10 .9 0 0 .0 0 .8 0 .7nnnnBBAACC???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?是否進入穩(wěn)定狀態(tài) , 看矩陣的最大特征值 若 則 總數(shù)將無限制增長 , 總數(shù)將趨于穩(wěn)定 , 總數(shù) 將逐漸減少 . .? 1,? ?1,? ? 1,?? 在 Matlab下 , 求出特征值 , 值為 0 .8 5 7 , 0 .4 5 5 7 , 0 .3 .?此說明基本進入穩(wěn)定狀態(tài) . , , ,?造成這一現(xiàn)象的主要原因是繁殖率偏低 . 事實上 , 若將 繁殖率改為 則特征值為 , , 問題 1 定期存款的計算 某人在銀行存款 , 設(shè)期初為 之后在每年的年底再存 入定額為 的錢 . 年息為 若 是存款 年后的總額 , 則有 0,Pa %,rnPn? ?101 % .P r P a? ? ?記 則有 ? ?1 % ,Rr??1 .nnP RP a? ??此方程為一階線性差分方程 , 其數(shù)值解為 ? ? ? ?0 1 / 1 .nnnP R P a R R? ? ? ? 在 Matlab下 , 編寫如下程序 , 運行后得 : 15年后存款總 額為 元 . 113384例如 : 某人期初存入 2萬元 , 計劃每年年底再存入 5000, 年利息為 求 15年后在銀行的存錢總額 . 2%, 如果要讓存款達到 20萬元 , 求出年數(shù) . 存款曲線圖示 問題 2 貸款還款計劃 問題的提出 當今人們消費 , 經(jīng)常會遇到分期付款消 費等現(xiàn)象 . 對實際貸款額和銀行利率 , 該如何制定相應(yīng) 的還款計劃 . 模型分析 設(shè) 為 年后所欠的錢數(shù) , 為每月償還 的錢數(shù) , 為還清所需的年數(shù) , 是與欠款有關(guān)的年利息 率 . 則 表示欠款總額 , nX n mN r ?0X 由條件 , 知下一年的欠款錢數(shù)為 1 12 .n n n nX X r X m R X a? ? ? ? ? ?其中 : 1 , 1 2 .R r a m? ? ? ? 模型建立 由上式 , 得 0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) .nnnX R X m R R? ? ? ?當 時則有 , 即 nN? 0.NX ?0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) 0 .NNR X m R R? ? ? ?? ?0 1 / 1 2 ( 1 ) .Nm X R R ?? ? ?由此得 應(yīng)用 : 設(shè)某人貸款 20萬元 , 年利率為 計劃 15年還清 , 求 每月應(yīng)還的錢額 . 6%,解 將數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 元 . m =1716還貸曲線圖 討論 : 當利率改變時 , 還貸計劃應(yīng)該做怎么樣的調(diào)整 . 例如當利率下降 還款是否也下降 當利率上升 而你又不想改變每月支付的金額 , 則還款年數(shù)將 增加到多少 ? 1%, 1%.1%,解 在求解公式中 , 將年利率改為 得 元 , 降幅為 若利率上升 則每月的還款額為 漲幅為 若不想增加還款額的話 , 則 還款期限為 18年 . 5%, m =1606% . 1%,1830. % . 進一步的討論 : 是否存在一輩子都還不清的可能 ? 在上面的情況下 , 假設(shè)貸款者仍然每月還款 元 , 則當年利率上升到多少 , 還款者要永遠還下去 ? 1716? ?0 1 / 1 2 ( 1 )Nm X R R ?? ? ? 在關(guān)系式 取 則有 ,N ? ?? ? 問題 3 生物種群的生長問題 某種生物群種的增長情況遵從著名的 Logistic方程 : ? ?1 1,n n np k p p? ??其中 是該種第 代的個體總量與該群體所能達到的 最大個體容量之比 . 為比例系 數(shù) . np n? ?0 1 0 , 1 , 2 , ,np n k? ? ? 注意到該方程是一個一階的非線性差分方程 . 在 Matlab下 , 對初始值 的不同取值 , 得到如下的結(jié) 果 : 0,kp⑴ k= 1. 5, p0 = 0. 5.⑵ k= 2. 5, p0 = 0. 5.⑶ k= 3. 2, p0 = 0. 5.⑷ k= 3. 4, p0 = 0. 5. 問題 4 減肥與飲食問題 一個女子每天攝入 2500卡的食物 ,其中 1200卡用于基 本的新陳代謝 , 并用每公斤體重 16卡為每日鍛煉的消耗 , 其它剩余的轉(zhuǎn)換成脂肪 . 設(shè) 10000卡等效為 1公斤脂肪 . 在星期六上午 , 她的準確體重為 . 在周三她 飽餐了一頓 , 攝入了 3500卡的食物 . 試建立一個數(shù)學(xué)模 型求第 天的體重 并用它來作以下預(yù)測 : n ,nW⑴ 到星期六時她的體重 ⑵ 為保持體重不變 , 每日應(yīng)攝入的熱量 。 問題的提出 設(shè) 表示年齡的時段，假定在一年中，今 年健康而明年患病的概率是 而今年患病明年轉(zhuǎn)為健 康的概率為 假設(shè)一個人在投保時處于健康狀態(tài)，我 們來研究若干年之后他分別處于這兩種狀態(tài)的概率。即 ? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ???1 2 兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 意義 若將眾多投保人處于兩種狀態(tài)的比例，視為投 保人處于兩種狀態(tài)的概率，例如健康人占 3/4，病人占 1/4，即 則同樣可計算出 ? ? ? ?001 3 / 4 , 2 1 / 4 ,????? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ??? 由上面的分析可以看出，對于給定的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率， 時的狀態(tài)概率， 趨向于穩(wěn)定值，該 值與初始值無關(guān)，這是馬氏鏈的重要性質(zhì)。從表中的數(shù)據(jù) 又可以看到，無論投保人在期初處于什么狀態(tài)，當 時，總有 n ??? ?l im 3 1 .nn ??? ? 假設(shè) 0 , 1 , 2 , 3 , 。 1t? t 滿足以上三個假設(shè)的系統(tǒng)的隨機發(fā)展過程稱為馬爾可 夫過程或馬氏鏈。令 滿足 ⑾式，即有 ? ?12,w w w?? ? ? ?1 2 1 20 .8 0 .2, , ,0 .7 0 .3w w w w?? ?????由此得到方程組 1 2 11 2 2 , w w ww w w???? ???聯(lián)系⑿則得到 12122 7 0 ,2 2 2 ,wwww???? ???故方程組的解為 ? ?12 72, , .99ww ??? ????這和前面的結(jié)果是相吻合的。 注 吸收鏈的特征是：任一狀態(tài)一旦進入該狀態(tài)就 將停留在該狀態(tài)。 B NR? B bij ij1 0 0. 5 5 , 2 8 P????????? 在前面的例 2中 ,將 改寫成 P則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?11 , IQ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? , B ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 應(yīng)用 基因遺傳問題 生物的外部特征是由生物體內(nèi)的基因決定的。按基因理論：含優(yōu)種和混種的基因個體類型，其外 部特征呈優(yōu)勢；而含劣勢基因類型的個體，其外部特征 呈劣勢。 假設(shè)最初的父母可以是優(yōu)種、混種或劣種，它們有大 量的后代，這些后代又隨機地雌雄交配后代，今來分析 它們后代的演變情況。 三、鋼琴銷售的存儲策略 問題的提出 一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗 , 平均每周只能售出 1架鋼琴 . 現(xiàn)在經(jīng)理指定的存儲策略是 : 每周末檢查庫存量 . 僅當 庫存量為零時 , 才訂購 3架供下周銷售 。 ,A B C 若三人都獨自經(jīng)商，則每人每月都只能獲得利潤 1萬 圓； 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 7萬圓； A B 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 5萬圓； A C 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 4萬圓； B C 若三人合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤 10萬圓； 則問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫@ 10萬圓的利潤應(yīng)如何分配給三人。 公理 2表明如果有人對他所參加的所有項目都沒有貢 獻，那么他就不應(yīng)該從全體的合作中獲利。 ? ? ? ?? ?v s v s i?????? ??i s 表示對所