【正文】 2 5 0 , 1 3 2 , 1 7 4 . 某股份公司有 4個(gè)股東分別持有 的股份，公司的決策必須經(jīng)持有半數(shù)以上股份的股東同 意才可通過(guò)，問(wèn)這 個(gè)股東在公司決策中的權(quán)重各多大？ 40 % , 30 % , 20 % , 10 %4 該問(wèn)題可看作為 個(gè)人的合作對(duì)策，記 其中 分別代表持有 股份 的股東。三城的合作節(jié)約了投資，產(chǎn)生了效益，可以將其看 作是一個(gè) 個(gè)人的合作問(wèn)題。 現(xiàn)計(jì)算按上面的想法各城應(yīng)承 擔(dān)的費(fèi)用： 1d 5 : 3 : 5 23,dd2d3d 5:3 城 3： 城 2： 15 174.13d ?? 1333 132.1 3 8dd? ? ? 城 1： 1 3 255 250.1 3 8d d d? ? ? ? 上面結(jié)果表明：城 3的分擔(dān)費(fèi)用比單獨(dú)建廠的費(fèi)用 要低，而城 1的費(fèi)用要比單獨(dú)建廠所花費(fèi)的費(fèi)用要高， 因而城 1不能贊同這種方案。但問(wèn)題是應(yīng)該如 何分擔(dān)費(fèi)用。如果聯(lián)合建廠，各城鎮(zhèn)應(yīng)如何分擔(dān) 費(fèi)用？ 以 代表三城鎮(zhèn)，考慮 ? ?1 , 2 , 3I ? 三城鎮(zhèn)污水處理的如下 5種方案 ⑴ 分別建廠，投資費(fèi)用為 ? ? ? ? ? ?0 . 7 1 21 7 3 5 2 3 0 , 2 1 6 0 , 3 2 3 0 .C C C? ? ? ? ? 總投資 ? ? ? ? ? ?1 1 2 3 6 2 0 .D C C C? ? ? ? ⑵ 1， 2合作在城鎮(zhèn) 2建立廠，則投資為 ? ? ? ? 0 . 7 1 2 0 . 5 11 , 2 7 3 5 3 0 .6 6 5 2 0 3 5 0 ,C ? ? ? ? ? ? ?總投資為 ? ? ? ?2 1 , 2 3 5 8 0 .D C C? ? ? ⑶ 2， 3合作在城鎮(zhèn) 3建廠，則投資為 ? ? ? ? 0 . 7 1 2 0 . 5 12 , 3 7 3 5 3 0 .6 6 3 3 8 3 6 5 ,C ? ? ? ? ? ? ?總投資為 ? ? ? ?3 2 , 3 1 5 9 5 .D C C? ? ? ⑷ 1， 3合作在城鎮(zhèn) 3建廠，則投資為 ? ? ? ? 0 . 7 1 2 0 . 5 11 , 3 7 3 5 3 0 .6 6 3 5 8 4 6 3 ,C ? ? ? ? ? ? ?該費(fèi)用超過(guò)了 1， 3分別建廠的費(fèi)用 故該方案無(wú)意義。同理可計(jì)算對(duì) 時(shí) ,有相應(yīng) 的值 : A 2i?1 7 4 10 0 1 1 5 1 6 3 5 1 2 2 3 1/3 1/6 1/6 1/3 1/3 1 1/2 5/3 s ??2 ? ?1,2 ? ?2,3 ? ?1,2,3? ?vs? ?? ?2vs ?? ? ? ?? ?2v s v s??s? ?ws? ? ? ? ? ?? ?2w s v s v s??????代入⑹，得 最后計(jì)算，得 ? ?2 ? ?? ?3 ? ? 沿河有城鎮(zhèn) 3，地理位置入圖所示，城鎮(zhèn)的污 水必須經(jīng)過(guò)處理后才能排入河中，因此三個(gè)城鎮(zhèn)將單獨(dú) 或聯(lián)合建造污水處理廠，用管道將污水集中處理（污水 應(yīng)從位于河流的上游向位于下游的城鎮(zhèn)輸送）。 ? ? ? ?? ?v s v s i?????? ??i s 表示對(duì)所有含 的子集 求和。 公理 4 若 也是定義在 上的特征函數(shù)，且 則 v? I ,w v v???? ? ? ? ? ? .w v v? ? ? ??? ⑸ 公理 4表明，若 個(gè)人同時(shí)進(jìn)行兩個(gè)項(xiàng)目的合作，則獲 利的分配為兩個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目分配之和。 公理 2表明如果有人對(duì)他所參加的所有項(xiàng)目都沒(méi)有貢 獻(xiàn)，那么他就不應(yīng)該從全體的合作中獲利。 ? ?vs I 所謂合作對(duì)策就是要確定已定義有特征函數(shù)的 中的 個(gè)人合作的結(jié)果，它表現(xiàn)為向量 In? ? ? ? ? ? ? ?? ?12 , , , .nv v v v? ? ? ?? ⑵ 在實(shí)際問(wèn)題中，常把 中各種組合的合作所獲得的利 益定義為特征函數(shù)，向量 就是 個(gè)人合作獲利的 分配。 ,A B C 若三人都獨(dú)自經(jīng)商，則每人每月都只能獲得利潤(rùn) 1萬(wàn) 圓； 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤(rùn) 7萬(wàn)圓； A B 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤(rùn) 5萬(wàn)圓； A C 若 和 合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤(rùn) 4萬(wàn)圓； B C 若三人合作經(jīng)商 , 則他們每月可獲得利潤(rùn) 10萬(wàn)圓； 則問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫@ 10萬(wàn)圓的利潤(rùn)應(yīng)如何分配給三人。怎樣來(lái)合理分配所獲取的效益是合作對(duì)策的研 究題目。 三、鋼琴銷售的存儲(chǔ)策略 問(wèn)題的提出 一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn) , 平均每周只能售出 1架鋼琴 . 現(xiàn)在經(jīng)理指定的存儲(chǔ)策略是 : 每周末檢查庫(kù)存量 . 僅當(dāng) 庫(kù)存量為零時(shí) , 才訂購(gòu) 3架供下周銷售 。所以該鏈 為吸收鏈。 假設(shè)最初的父母可以是優(yōu)種、混種或劣種，它們有大 量的后代，這些后代又隨機(jī)地雌雄交配后代，今來(lái)分析 它們后代的演變情況。因此后代成為優(yōu) 種、劣種、混種基因類型的概率是不同的。按基因理論：含優(yōu)種和混種的基因個(gè)體類型，其外 部特征呈優(yōu)勢(shì)；而含劣勢(shì)基因類型的個(gè)體，其外部特征 呈劣勢(shì)。分別表示為 對(duì)于生物的某 個(gè)外部特征，體內(nèi)有兩個(gè)基因與之對(duì)應(yīng)。 B NR? B bij ij1 0 0. 5 5 , 2 8 P????????? 在前面的例 2中 ,將 改寫(xiě)成 P則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?則 0 .2 5 0 .6 5 0 .1,.0 .1 8 0 .8 0 .0 2QR? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ?11 , IQ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? , B ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 應(yīng)用 基因遺傳問(wèn)題 生物的外部特征是由生物體內(nèi)的基因決定的。 0,RI?定理 3 對(duì)于具有標(biāo)準(zhǔn)形式的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，有如 下的性質(zhì)： ⑴ 矩陣 具有零極限，即 tQlim 0 .tt Q?? ?⑵ 矩陣 可逆且 IQ?? ? 10.ttI Q Q????? ?⑶ 記 則矩陣的第 行元素之和值是從非 吸收狀態(tài)出發(fā)被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收之前的平均轉(zhuǎn)移次 數(shù)。 注 吸收鏈的特征是：任一狀態(tài)一旦進(jìn)入該狀態(tài)就 將停留在該狀態(tài)。令 ? ?1 2 3, , ,w w w w?由方程⑾，⑿確定方程組 1 2 11 2 3 21 2 311,241 1 1,2 2 21.w w ww w w ww w w????????從方程中解出 即 1 2 31 1 1, , ,4 2 4w w w? ? ?? ?1 2 3 111, , , , .424w w w ??? ???? 吸收鏈 定義 如果存在某個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率 則稱狀態(tài) 是 吸收的 . 如果馬氏鏈中含有吸收狀態(tài) , 并且從每一個(gè)非 吸收狀態(tài)出發(fā)都可以達(dá)到某個(gè)吸收狀態(tài)，則稱這個(gè)馬氏 鏈為吸收鏈。令 滿足 ⑾式，即有 ? ?12,w w w?? ? ? ?1 2 1 20 .8 0 .2, , ,0 .7 0 .3w w w w?? ?????由此得到方程組 1 2 11 2 2 , w w ww w w???? ???聯(lián)系⑿則得到 12122 7 0 ,2 2 2 ,wwww???? ???故方程組的解為 ? ?12 72, , .99ww ??? ????這和前面的結(jié)果是相吻合的。 1 , 2 , 3 , .i t i n t? ??行向量 稱為狀態(tài)概率向量，由概率的意義，向量應(yīng)該滿足 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?12 , , , nt t t t? ? ? ?? ⑸ 及 ? ? 0 , 1 , 2 , , , 0 , 1 , 2 , .i t i n t? ? ? ?⑹ ? ?11 . 0 ,1 , 2 , .niitt?????⑺ 設(shè)在時(shí)刻 處于狀態(tài) 的系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到 時(shí)刻處于 的概率為 它應(yīng)該滿足 t isjs1t?,ijp1. 0 , , 1 , 2 , , ,ijp i j n??11 , 1 , 2 , .nijjp i n????2. ⑻ 引如概率轉(zhuǎn)移矩陣 ? ?11 12 121 22 212.nnijnnn n nnp p pp p pPpp p p?????????????由假設(shè) 3，再由全概率公式得 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 211.1nnnnn n n n n nt t p t p t pt t p t p t pt t p t p t p? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ??⑼ 用矩陣的方法來(lái)表示的話，⑼可以寫(xiě)成 ? ? ? ?11.ni j jijt t p????? ? 簡(jiǎn)單地可以寫(xiě)成 ? ? ? ? t P????由此可得系統(tǒng)在時(shí)刻 時(shí)的狀態(tài)向量為 t其中 為時(shí)刻 時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)概率向量，又稱為 狀態(tài)初始向量。 1t? t 滿足以上三個(gè)假設(shè)的系統(tǒng)的隨機(jī)發(fā)展過(guò)程稱為馬爾可 夫過(guò)程或馬氏鏈。在時(shí)間 時(shí)， 系統(tǒng)的狀態(tài)的 的取值為 tS ? ?1 , 2 , 3 , , 。從表中的數(shù)據(jù) 又可以看到，無(wú)論投保人在期初處于什么狀態(tài)，當(dāng) 時(shí)，總有 n ??? ?l im 3 1 .nn ??? ? 假設(shè) 0 , 1 , 2 , 3 , 。 3nX ?1 2 31 三種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 仍以 表示狀態(tài) 為 時(shí)的概率， 表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概 率，即有 ? ? ? ?1 , 2 , 3n ii? ?i ijp1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 30 .8 , 0 .1 8 , 0 .0 2 ,0 .6 5 , 0 .2 5 , 0 .1 ,0 , 1 ,p p pp p pp p p? ? ?? ? ?? ? ?平行于⑴式，有 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 1 3 11 1 2 3 ,n n n nppp? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 2 3 22 1 2 3 ,n n n nppp? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 3 1 3 2 3 33 1 2 3 ,n n n np p p? ? ? ?? ? ? ? 設(shè)投保人在期初處于健康狀態(tài)，則由⑷可計(jì)算出若干 年后他處于各個(gè)狀態(tài)的概率。即 ? ? ? ?72l im 1 , l im 2 .99nnnn??? ? ? ???1 2 兩種狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率 意義 若將眾多投保人處于兩種狀態(tài)的比例，視為投