【正文】 第五章 離散模型 離散模型是 將實(shí)際問題直接抽象成離散的數(shù)、符號 或圖形，然后以離散數(shù)學(xué)為主要研究工具來解決的數(shù)學(xué) 模型。連續(xù)模型進(jìn)行離散化所得到的數(shù)學(xué)模型不在此討 論。 一、過河問題 問題 有三名商人各帶一名隨從要乘一條小船過河， 這條船每次最多只能容納兩個人，并且由于某種原因， 商人們總是提防著隨從們，預(yù)感到一旦在任何地方只要 隨從人數(shù)多于商人數(shù)，就會對商人構(gòu)成危害。但是由于 商人們控制著如何乘船的指揮權(quán)，所以商人們就可以制 定一個過河方案，以確保商人們的安全。試求出這個方 案。 建模 設(shè)在渡河過程中，此岸的商人個數(shù)為 隨從個數(shù)為 以 表示此岸的狀態(tài)向量，即 ,x,y ? ?,xy? ?? ?, , 0 , 1 , 2 , 3 .E x y x y??在 中有一部分對商人是安全的，稱為容許狀態(tài)集合， 記為 即有 E,S? ? ? ??? ? ?3 , 0 , 1 , 2 , 3 。 0 , 0 , 1 , 2 , 3 , , 1 , 2 .S y y y yx y x y? ? ???xyo 1 2 312 在上圖中 , 實(shí)點(diǎn)即表示為容許狀態(tài)的集合 . 乘船的方案稱為決策，仍然用向量 來表示， 即 名商人和 名隨從同坐一條船 . 在這些決策中 , 有 ? ?,xyx y? ?? ?, 1 2 .D x y x y? ? ? ?是符合條件的，稱為容許決策。容許決策的全體組成集 合構(gòu)成容許決策的集合，記為 .D 在這個問題中，容許決策的集合為 小船從此岸到彼岸的一次航行，會使兩岸的狀態(tài)發(fā)生 一次變化，此稱為狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。用 ? ? ? ? ? ?1 2 3, , , , , ,s x y s x y s x y表示狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。其中 用 表示在狀態(tài) 下的決策。當(dāng) 為奇數(shù)時，表示從此岸到 彼岸，當(dāng) 為偶數(shù)時，表示從彼岸到此岸。所以 ? ?, 1 , 2 , 3 ,is S i?? ? ?,id x yis ii? ?1 i is s d? ? ? ? ⑴ 公式⑴稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式。 所以，該問題轉(zhuǎn)變成尋找一系列的決策 使?fàn)? 態(tài) 按⑴由初始狀態(tài)經(jīng)過有限次的 轉(zhuǎn)移達(dá)到 ,idD?? ?, 1 , 2 , 3 ,is S i??.ns 建立坐標(biāo)系統(tǒng)，并在坐標(biāo)平面上建立的刻度單位。做 網(wǎng)格線，網(wǎng)格線上的每一個交點(diǎn)代表一個狀態(tài)（用實(shí)點(diǎn) 表示）。黃色曲線弧表示向彼岸渡人，綠色曲線弧表示 從彼岸返回。容許決策 表現(xiàn)為 從一個實(shí)點(diǎn)向另一個實(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)移。 當(dāng) 為奇數(shù)時，容許決策表現(xiàn)的是 向下及向左的移動，當(dāng) 為偶數(shù)時 容許決策表現(xiàn)的是向上及向右的移 idii 解模 ? ?1 3,3sxyo 1 2 312動。 整個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移用下面的表格來表示。 序號 狀態(tài) 決策 序號 狀態(tài) 決策 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 ? ?3,3 ? ?0,2? ?0,1? ?3,2? ?3,1? ?0,2? ?3,0 ? ?0,1? ?3,1 ? ?2,0? ?1,1 ? ?1,1? ?2,2 ? ?2,0? ?0,2 ? ?0,1? ?0,3 ? ?0,2? ?0,1 ? ?0,1? ?0,2 ? ?0,2? ?0,0 分析 從上表中可以看到，該方案是可行的。 二、差分方程 本節(jié)介紹離散模型中的一種重要類型 ——差分方程及 相應(yīng)的解法 . 離散模型的基本形式是 : 下一變量為由當(dāng)前值、先前 值及 構(gòu)成的函數(shù) , 即 t? ?1 1 1 0, , , , , ,n n nX f X X X X t??? ⑴ 方程⑴稱為差分方程 . 例 1 某產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量與前一年的產(chǎn)量關(guān)系為 : 當(dāng)年產(chǎn) 量在去年產(chǎn)量增加 則相應(yīng)的差分方程為 15%,? ?1 1 0 .1 5 .nnXX? ?? 一類比較簡單的差分方程為 1 .nnX a X b? ??⑵ 具體形式為 : 10 ,X a X b??? ?22 1 0 1,X a X b a X a b? ? ? ? ?? ?323 2 0 1,X a X b a X a a b? ? ? ? ? ?? ?1110 1n n nnX a X a a a b??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?110 1 / 1 1 .nna X a b a a??? ? ? ? ? 在差分方程⑴中 , 若僅有 的值 , 即方程⑴具有形式 nX? ?1 ,nnX f X t? ? ⑶ 則方程稱為一階差分方程 . 若只有 的值 , 則方程 稱為二階差分方程 . 一般差分方程的階定義為出現(xiàn)在方 程中最高階與最低階的差值 . 例如一個二階線性方程為 1,nnXX?? ?11 .n n nX a X b X f n??? ? ?所謂同類線性差分方程指的是方程具有形式 11 n nX aX bX??? ? ?⑷ 而方程 21123n n nX X X n??? ? ?則不是同類方程 . 例 2 設(shè)在一場戰(zhàn)斗中 , 交戰(zhàn)雙方為 軍和 軍 , 軍的 一個單位一次可摧毀 軍的 個單位 , 軍的一個單位 可摧毀 的 個單位 . 設(shè)經(jīng)過 次戰(zhàn)斗后 , 所剩 下的人數(shù) , 則有 A B AB a BA b n ,nnAB1 ,n n nA A b B? ??1 .n n nB B aA? ??此是由兩個變量關(guān)連的差分方程 , 經(jīng)過轉(zhuǎn)化 , 方程可變 為 ? ?212 1 0 ,n n nA A a b A??? ? ? ?由此得到的是一個二階的差分方程 . 對與給定的初始值 經(jīng)過若干次的迭代 , 最終能求出 01,AA .nA 應(yīng)用 擁有 10000人的 軍和擁有 5000人的 展開一 場戰(zhàn)斗 , 軍的殺傷力為 軍的殺傷力為 用上式預(yù)測戰(zhàn)斗結(jié)果 . A BA ,a ? B 5,b ?分析 為使問題簡化 , 以 1000人為一個單位 , 即 001 0 , 5 ,AB??代入上式 , 有結(jié)果 8 6 5 4 4 5 10 3 2 1 0 nABnAB當(dāng)戰(zhàn)斗進(jìn)行到第 6次時 , 已經(jīng)沒有意義了 , 此時 軍還有 7550人 . A問題 : 如果有俘虜產(chǎn)生 , 該問題又該如何 ? 由若干個變量構(gòu)成的線性差分方程 , 在很多情況下可 通過矩陣西形式表現(xiàn)出來 . 例如在上面的兩軍交戰(zhàn)的模 型中 , 相應(yīng)的矩陣形式為 111.1n nnnA AbBBa????? ??????? ??????? ????而相應(yīng)的進(jìn)程關(guān)系可表達(dá)為 1 .nnX MX? ?其中 , 1,.1nnnA bXMB a??? ?????? ???????矩陣 又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 . M應(yīng)用 設(shè)有某種生物 , 一年后成熟并有繁殖能力 . 此種 生物在狀態(tài) 時 , 有狀態(tài) n 年齡在 1歲之前的幼蟲總數(shù) 。 :nB 年齡在 1—2歲之間的壯年蟲總數(shù) 。 :nA 年齡在 2歲以上的老年蟲總數(shù) 。 :nC不同年齡段的此種生物的繁殖和死亡率有下表所示 : 組別 繁殖率 死亡率 0 BAC由此得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及關(guān)系表達(dá)式 1110 0 .3 0 .10 .9 0 0 .0 0 .8 0 .7nnnnBBAACC???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?是否進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài) , 看矩陣的最大特征值 若 則 總數(shù)將無限制增長 , 總數(shù)將趨于穩(wěn)定 , 總數(shù) 將逐漸減少 . .? 1,? ?1,? ? 1,?? 在 Matlab下 , 求出特征值 , 值為 0 .8 5 7 , 0 .4 5 5 7 , 0 .3 .?此說明基本進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài) . , , ,?造成這一現(xiàn)象的主要原因是繁殖率偏低 . 事實(shí)上 , 若將 繁殖率改為 則特征值為 , , 問題 1 定期存款的計算 某人在銀行存款 , 設(shè)期初為 之后在每年的年底再存 入定額為 的錢 . 年息為 若 是存款 年后的總額 , 則有 0,Pa %,rnPn? ?101 % .P r P a? ? ?記 則有 ? ?1 % ,Rr??1 .nnP RP a? ??此方程為一階線性差分方程 , 其數(shù)值解為 ? ? ? ?0 1 / 1 .nnnP R P a R R? ? ? ? 在 Matlab下 , 編寫如下程序 , 運(yùn)行后得 : 15年后存款總 額為 元 . 113384例如 : 某人期初存入 2萬元 , 計劃每年年底再存入 5000, 年利息為 求 15年后在銀行的存錢總額 . 2%, 如果要讓存款達(dá)到 20萬元 , 求出年數(shù) . 存款曲線圖示 問題 2 貸款還款計劃 問題的提出 當(dāng)今人們消費(fèi) , 經(jīng)常會遇到分期付款消 費(fèi)等現(xiàn)象 . 對實(shí)際貸款額和銀行利率 , 該如何制定相應(yīng) 的還款計劃 . 模型分析 設(shè) 為 年后所欠的錢數(shù) , 為每月償還 的錢數(shù) , 為還清所需的年數(shù) , 是與欠款有關(guān)的年利息 率 . 則 表示欠款總額 , nX n mN r ?0X 由條件 , 知下一年的欠款錢數(shù)為 1 12 .n n n nX X r X m R X a? ? ? ? ? ?其中 : 1 , 1 2 .R r a m? ? ? ? 模型建立 由上式 , 得 0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) .nnnX R X m R R? ? ? ?當(dāng) 時則有 , 即 nN? 0.NX ?0 1 2 ( 1 ) /( 1 ) 0 .NNR X m R R? ? ? ?? ?0 1 / 1 2 ( 1 ) .Nm X R R ?? ? ?由此得 應(yīng)用 : 設(shè)某人貸款 20萬元 , 年利率為 計劃 15年還清 , 求 每月應(yīng)還的錢額 . 6%,解 將數(shù)據(jù)代入上式 , 即得 元 . m =1716還貸曲線圖 討論 : 當(dāng)利率改變時 , 還貸計劃應(yīng)該做怎么樣的調(diào)整 . 例如當(dāng)利率下降 還款是否也下降 當(dāng)利率上升 而你又不想改變每月支付的金額 , 則還款年數(shù)將 增加到多少 ? 1%, 1%.1%,解 在求解公式中 , 將年利率改為 得 元 , 降幅為 若利率上升 則每月的還款額為 漲幅為 若不想增加還款額的話 , 則 還款期限為 18年 . 5%, m =1606% . 1%,1830. % . 進(jìn)一步的討論 : 是否存在一輩子都還不清的可能 ? 在上面的情況下 , 假設(shè)貸款者仍然每月還款 元 , 則當(dāng)年利率上升到多少 , 還款者要永遠(yuǎn)還下去 ? 1716? ?0 1 /