【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為 l ，質(zhì)量為 m，平放在摩擦系數(shù)為 μ的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度 ω0繞過中心 O且垂直于桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求： （ 1）作用于桿的摩擦力矩； （ 2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。 解：（ 1）設(shè)桿的線密度為： ml??在桿上取一小質(zhì)元 ddmx? ?有微元摩擦力： d d df m g g x??? ? ?微元摩擦力矩： ddM g x x? ??考慮對(duì)稱性，有摩擦力矩： 2012d4lM g x x m g l??? ? ? ?2022/2/11 28 （ 2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 ddM J J t????有： 000 ddt M t J????? ?20114 1 2m g l t m l? ? ??? 03ltg???或利用： 0M t J J? ? ???考慮到 0?? 2112J m l?有： 03ltg???2022/2/11 29 ，一個(gè)質(zhì)量為 m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為 M，半徑為 R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。 解：受力分析如圖，可建立方程： m g T m a??TR J? ?aR? ? 212J m R?22mgaMm? ?聯(lián)立，解得： 2M m gTMm? ?考慮到 ddvat? ， 002dd2vt mgvtMm? ???有： 22m g tvMm? ?（選向下為正） （選逆時(shí)針為正） 2022/2/11 30 ，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為 M/4,均勻分布在其邊緣上，繩子 A端有一質(zhì)量為 M的人抓住了繩端，而在繩的另一端 B系了一質(zhì)量為 M/4的重物，如圖。已知滑輪對(duì) O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=MR2/4 ，設(shè)人從靜止開始以相對(duì)繩勻速向上爬時(shí)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，求 B端重物上升的加速度？ 解： 分別對(duì)人、滑輪與重物列出動(dòng)力學(xué)方程 1 AM g T M a??人 : 2 44 BMMT g a??物 : 12T R T R J?? ?滑輪 : （選向下為正） （選逆時(shí)針為正） （選向上為正） ABa a R?? ? ， /2 4J M R?解得： 2ga ?其中 : 2022/2/11 31 解二： 選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè) u為人相對(duì)繩的速度， v為物上升的速度，注意到 u為勻速， d 0dut?系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為： 而力矩為： 213 ( ) ( )4 4 2ML M v R M u v R R M v R M u RBA? ? ? ? ? ??物 體 人( ) ( ) ( 物 體 )13M44M g R M g R M g R? ? ? ?根據(jù)角動(dòng)量定理 ddLMt?有： 3 d 3()4 d 2M g R M v R M u Rt?? 2ga ?2022/2/11 32 55．計(jì)算質(zhì)量為 m半徑為 R的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：球體密度 334mR?? ?考慮均質(zhì)球體內(nèi)一個(gè)微元： 2d sin d d dm r r? ? ? ? ?微元到軸的距離為 sinr ?2( sin ) dJ r m? ? ?有： 2 220 0 0( sin ) sin d d dRJ r r r??? ? ??? ? ? ? ? ?520 012 [ ( 1 c o s ) d c o s ]5Rr? ? ? ? ?? ?? ? ? ?225mR?2022/2/11 33 56．一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù) k=40N/m,當(dāng) θ=0176。 時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量 m=，求在 θ=0176。 的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度 ω ， 才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？ 解：選 （彈簧 +細(xì)棒 +地球） 為系統(tǒng)。 以圖示 下方的三角樁為軸，從 θ=0～ θ=90o時(shí)，機(jī)械能守恒。 θ=0時(shí)機(jī)械能為： θ =90o時(shí)機(jī)械能為： 22112 2 3lm g m l?? ?（ ）212 kx有： 2 2 21 1 12 2 3 2lm g m l k x? ? ??（ ）根據(jù)幾何關(guān)系： 2 2 2( ) 1x ? ? ?得： 13 . 2 8 r a d s ????重力勢(shì)能 +轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2022/2/11 34 58．如圖所示，長(zhǎng)為 l 的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和 2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸 O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸 O距兩端分別為 l/3和 2l/3。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為 m的小球，以水平速度 v0與桿下端小球 m作對(duì)心碰撞，碰后以 v0/2的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。 解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有： 22002 1 2 2( ) 2 ( )3 2 3 3 3llm v l m v l m m? ? ? ? ? ? ? ???有： 22004 2 2 1()9 9 3 3l l v l v l? ? ??032vl??解得： 2022/2/11 35 59．一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為 M ，半徑為 R放在一粗糙水平面上 (圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為 μ ） ,圓盤可繞通過其中心 O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止，一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度 v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：（ 1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；（ 2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。 (圓盤繞通過 O的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2,忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。 ) 解：（ 1）利用角動(dòng)量守恒： 2212m v R M R m R?? ??得： 2( 2 )mvm M R? ??2022/2/11 36 （ 2）選微分 d 2 dm r r? ?? 面密度 2MR?? ?202d2 π d3RfMM g r m g r r r M g RR? ? ???? ? ??由 : fM t J? ? ? ? ? ?有 : 2221 ( ) 032M g R t M R m R? ? ? ? ???知： ? ?22,4MmtRMg??? ??將 ? ?22mvM m R???代入， 32mvtMg?? ?即得： 2022/2/11 37 510．有一質(zhì)量為 m1 、長(zhǎng)為 l 的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 μ 的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn) O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為 m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端 A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為 和 如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。 (已知棒繞點(diǎn) O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=m1l2/3) 1v 2v解：由碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒，考慮到 和 1v 2v方向相反，以逆時(shí)針為正向，有： 22 1 1 2 213m v l m l m v l?? ?得： 2 1 213 ( )m v vml???2022/2/11 38 又 ∵ 細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩可由積分求得： 1101d2lfmM g x x m g ll??? ??利用 ddfMJ t??? 有： 210011d3d12tmltm g l???????得： 2 1 212 ( )23m v vltg m g??????2022/2/11 39 511．如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ?m2 ,半徑為7cm。物體的質(zhì)量為 5kg,用一細(xì)繩與勁度系數(shù) k=2