【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1） 通過(guò)圓管的流量； （ 2） 過(guò)流斷面的平均流速 V； （ 3）過(guò)流斷面上速度恰好等于平均速度的 點(diǎn)距管軸中心的距離。 【 解 】 （ 1）在過(guò)流斷面，半徑為 r處，取一環(huán)形微分面積， ，面上各點(diǎn) v相等。則通過(guò)該微分面積的體積流量 d2 π d?A r r2m a x 2d d 1 2 π d??? ? ? ????? rQ v A v r rR通過(guò)圓管的體積流量 Q為 22m a x m a x201d 1 2 π d π2??? ? ? ? ???????RArQ Q v r r R vR（ 2）過(guò)流斷面上的平均流速 V為 2m a xm a x21 π12π 2? ? ?RvQVvAR（ 3）依題意，令 2m a x m a x2112rvvR????????21122?? Rr則 處速度恰好等于平均速度。 Rr22? 連續(xù)性方程 據(jù)質(zhì)量守恒定律，對(duì)于空間固定的封閉曲面，非定常流時(shí)流入的流體質(zhì)量與流出的流體質(zhì)量之差，應(yīng)等于封閉曲面內(nèi)流體質(zhì)量的變化量。穩(wěn)定時(shí)流入的流體質(zhì)量必等于流出的流體質(zhì)量，這些結(jié)論如以數(shù)學(xué)形式表達(dá)，就是連續(xù)性方程。 質(zhì)量守恒定律：流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，體積的大小和形狀可以改變，但總的質(zhì)量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變。 恒定運(yùn)動(dòng)下微流管的連續(xù)性方程 在流體中取一微流管，如圖 。 1 1 1 2 2 2δ δv A v A?? ?圖 . 1 4 3 微流管v1v2? A1? A2或 δvA? ? 常數(shù) constant 式中 —— 流管某一過(guò)流斷面處流體的密度； —— 該過(guò)流斷面處流體的速度； —— 該過(guò)流斷面的面積 。 當(dāng)研究不可壓縮流體 常數(shù)時(shí) ?vδA??δvA ? 常 數(shù)當(dāng)為管流時(shí) ， 1δv A?1VA?或 式中 V為過(guò)流斷面平均流速， A為過(guò)流斷面面積。 在研究平面流動(dòng)中 ， 過(guò)流斷面 （ 單位寬度 ） ,即 δ δ 1Ab??圖 . 1 5 3 流線的稀疏和密集v 1 v 2δ b1 δ b21δv b? 連續(xù)性微分方程 在流場(chǎng)中取微小的直角六面體空間作為控制體，在 dt時(shí)間內(nèi)，流體從 AB面流入的質(zhì)量 為 ；從 CD面流出的質(zhì)量為 。其中 d d du y z t? 39。( ) d d du y z t?()( ) duu u xx??? ?? ? ? ??在 dt時(shí)間內(nèi)，在 x方向，通過(guò) AB和 CD兩個(gè)面，使微六面體中流體質(zhì)量變化為： () d d d d d d duu x y z t u y z tx?????????? ???() d d d du x y z tx????圖 . 1 6 3 直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程zxyρ u( ) 39。ρ uABCDd zd yd xO同理， y, z方向的流體質(zhì)量變化分別為 ： () d d d dv x y z ty???() d d d dw x y z tz???和 所以， dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)該控制體流體質(zhì)量的變化為上述三項(xiàng)之和 ( ) ( ) ( ) d d d du v w x y z tx y z? ? ???? ? ?????? ? ???dt時(shí)間內(nèi)，由于密度的變化使微六面體內(nèi)流體的質(zhì)量變化了 。 d d d dt x y zt??? 根據(jù)質(zhì)量守恒定律，該兩項(xiàng)之和必須等于零，化簡(jiǎn)即得 ( ) ( ) ( ) 0u v wt x y z? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 在場(chǎng)論中， ，稱為速度矢量的散度，記作 。 v= u v wx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?divv? ? 0vt? ?? ? ? ? ??或表示為 0v=??d iv 0v=記作 在恒定流動(dòng)中，可壓縮流體的連續(xù)性方程式為 ? ? 0v?? ? ? 在圓柱坐標(biāo)系（ ）中，取一微分控制體，如圖（ ）。 zr ,?dθzACBd zd rρ vr( v ) 39。ρroD圖 . 1 7 3 圓柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程dθyxθrz 在 dt時(shí)間內(nèi)，由于通過(guò)該控制體的流體流量變化及由于密度的變化，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，并化簡(jiǎn)得 ()( ) ( )1 0r r zvv v vt r r r z??? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ?是可壓縮流體運(yùn)動(dòng)在圓柱坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程。 對(duì)于不可壓縮流體來(lái)說(shuō)， 常數(shù)，上式可簡(jiǎn)化得 ??1 0r r zvv v vr r r z?????? ? ? ?? ? ?【 例 】 已知不可壓縮流體的速度場(chǎng) ， 其中 為常數(shù)，試求速度分量 。 2 2 2u ax by c z? ? ? v dx y e y z f zx? ? ? ? fedcba ,,w【 解 】 對(duì)于不可壓縮流體，由連續(xù)性微分方程（式） 得 20 wa x d x e z z?? ? ? ??積分上式，得 22 ( , , )2ew d x z a x z z f x y t? ? ? ?0u v wx y z? ? ?? ? ?? ? ? 流場(chǎng)中一點(diǎn)鄰域內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析 剛體的運(yùn)動(dòng)再?gòu)?fù)雜，無(wú)非是移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的迭加。但是，流體的運(yùn)動(dòng)中，除了上述這兩種運(yùn)動(dòng)外，還要變形。 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) (a): 平動(dòng) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) (b): 轉(zhuǎn)動(dòng) 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng) (c): 變形 龍卷風(fēng) : 亥姆霍茲速度分解定理 以平面流動(dòng)為例。設(shè)在某時(shí)刻 t，在運(yùn)動(dòng)的流場(chǎng)中取流體元（圖 ） 圖 . 1 8 3 流體微團(tuán)zoyxd rvMvM 0M0M0( ) ( ) d dM M x yxy??? ? ???vvvv分量式為 0( ) ( ) d duuu M u M x yxy??? ? ???0( ) ( ) d dvvv M v M x yxy??? ? ???經(jīng)整理可得 011( ) ( ) d d d22u v u u vu M u M y x yy x x y x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?011( ) ( ) d d d22v u v v uv M v M x y xx y y x y? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?采用下列符號(hào)： 稱為 x， y方向線應(yīng)變率 。 xxux???? yyvy????， 稱為 xoy平面的角變形率 。 12zvuxy? ????????????稱為 M點(diǎn)繞 M0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角速度 在 z軸上投影。 ω 亥姆霍茲速度分解定律表明流體質(zhì)點(diǎn) M0點(diǎn)鄰域內(nèi)另一點(diǎn) M點(diǎn)的速度 = 點(diǎn)速度 +（由于流體旋轉(zhuǎn) +線應(yīng)變率 +角變形率）而引起的相對(duì)速度。 0M12xyvuxy?????????????1. ， ， 的意義 xxux???? yyvy???? zzwz???? 設(shè)流體微元為一長(zhǎng)方體，邊長(zhǎng)分別 為 。其中一側(cè)面圖 。 ,x y z? ? ?δ δ δδ δxxuu x t u tuxx t x???????? ??????? 它表示流體面元（在三維流動(dòng)中是體元）在 x方向的局部相對(duì)伸長(zhǎng)速率，稱為線應(yīng)變速率，簡(jiǎn)稱線應(yīng)變率。 圖 . 1 9 3 流體微團(tuán)的幾種運(yùn)動(dòng)A39。D39。C39。B39。dβdαγγdθ( c )( a )(b)D39。D C C39。AA39。 B B39。ABCDyyvv ????yyuu ????xxvv ????xxuu ????yyuxxuu ????????yyvxxvv ????????vu 流體的變形和旋轉(zhuǎn) 同理，可導(dǎo)出在 y和 z方向的線應(yīng)變率為 yyvy???? zzwz????2. ， ， 的意義 12x y y xvuxy??????? ? ??????? 12x z z x wuxz?? ????? ? ???????12y z z ywvyz??????? ? ??????? 如圖 （ c）所示，經(jīng)過(guò) 時(shí)間后，在 xy平面內(nèi) 的面積元將運(yùn)動(dòng)至 ，產(chǎn)生了角變形， 從直角減少量為 ，定義其平均角變形速率是 : δtABCD A B C D? ? ? ?BAD? dd???δ δδ δ1 d d 12 δ 2 δ δ δ δ?????????? ??? ? ?????xyuvytxtyxt x t y t12vuxy????????????同理在 xz和 yz平面內(nèi)的平均角變形速率分別是 12xzwuxz?????????????12yzwvyz????????????? 以上角變形速率又稱為剪切變形速率，簡(jiǎn)稱角變形率或切變率。 3. ， ， 的意義 12xwvyz?????????????12yuwzx?????????????12zvuxy????????????? 當(dāng) 運(yùn)動(dòng)至 時(shí) ， 其對(duì)角線 AC經(jīng) 時(shí)間轉(zhuǎn)動(dòng)了角度 ， 如圖 （ c） 所示 。 ABCD A B C D? ? ? ? δtd d 45? ? ?? ? ?在 xy平面內(nèi)面積元繞 z軸旋轉(zhuǎn)的角速度為 d1d2zvut x y?