【正文】 2022/2/11 1 一、基本概念 、轉(zhuǎn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 理想化的力學(xué)模型 特性： 特殊的質(zhì)點(diǎn)系 (牛頓力學(xué) ) 剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動(dòng) 剛體對(duì)定軸的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的總和。 2iiiJ m r??? 2 dmJ r m? ? 212k i i iE m v??212kEJ ??(剛體中各質(zhì)元的總動(dòng)能 ) 2022/2/11 2 （ 1） 對(duì) 轉(zhuǎn) 軸的力矩 z i iiM r F ????（ 2） 力矩的功 (力矩的空間積累效應(yīng) ) ddAM ??總功： 21 dAM ??????元 功 : （ 3）功率： ddANt?ddMMt? ???M r F??2022/2/11 3 (1) 沖量矩 力矩乘以力矩所作用的時(shí)間。 力矩在 t1→t 2內(nèi)總沖量矩： 21dttMt?dMt元沖量矩 ： （ 力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng) ） (2) 角動(dòng)量 （動(dòng)量矩） 剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量 ,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積 。 LJ ??2022/2/11 4 222 1 2 11122 kkA J J E E??? ? ? ? 合外力矩 對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體 所做的功 等于剛體的 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量 。 ddM J J t????外1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體所受的對(duì)于 某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸 的 合外力矩 等于剛體 對(duì)此轉(zhuǎn)軸 的 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與剛體在 此合外力矩 作用下所獲得的 角加速度 的乘積 。 二、基本規(guī)律 2022/2/11 5 4. 角動(dòng)量守恒定律 如果剛體所受的對(duì)于某一固定軸的合外力矩為零，則它對(duì)于這一固定軸的角動(dòng)量保持不變。 .c o n s t?? ωJ M zz ，則外 03. 剛體的 角動(dòng)量定理 ddLMt?外微分形式： 5. 機(jī)械能守恒 對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立。 積分形式： 2121dttM t L L L? ? ? ??2022/2/11 6 解法 ： 利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系 解法： （ 1）定義法： 2ΔiiiJ m r? ?22ddJ r m r ρ V????三、習(xí)題基本類型 dd t?? ? 22ddddtt??? ??vr??2nar??tar??v ω r?? O v 定 軸 P ? z r ω0 t? ? ???20012tt? ? ? ?? ? ??????22002? ? ? ? ?? ? ?( )2022/2/11 7 （ 2）平行軸定理 若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為 d， 剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 則有 J＝ JC＋ m d 2。 解法：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 MJ ??步驟 ： （ 1）審題，確定研究對(duì)象； （ 2）建立坐標(biāo)系； （ 3）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方（注：受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將F=ma與 M=J? 聯(lián)系起來； （ 4）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量； （ 5）解方程，求未知，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。 2022/2/11 8 解法 ：利用 動(dòng)能定理 和 機(jī)械能守恒定律 解法 ： 應(yīng)用 運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、轉(zhuǎn)動(dòng)定律 和 角動(dòng)量守恒定律。 四、典型習(xí)題分析與講解 2022/2/11 9 ω=60rev/min=1rev/s=2πrad/s 1. (P3 17) . 一剛體以每分鐘 60 轉(zhuǎn)繞 z 軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)( 沿 Z軸正方向 )。設(shè)某時(shí)刻剛體上一點(diǎn) P的位置矢量為 , 其單位為“ 102m”， 若以“ 102m?s1”為速度單位，則該時(shí)刻 P點(diǎn)的速度為： ??kjir ?5?4?3 ????? ? ?( ) 94 .2 12 5. 6 15 7. 0A v i j k? ? ?? ?( ) v i j? ? ?? ?( ) v i j? ? ??( ) v k?2ω k? π分析 ： ? ? ?3 4 5r i j k? ? ?∴ P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)對(duì)圓心 o′的矢徑為 : ? ?34R i j??該時(shí)刻 P點(diǎn)的速度為 : v ω R??? ?68π j π i?? ? ?25 .1 18 .8ij? ? ?? ?2 ( 3 4 )π k i j? ? ?∴ 選（ B ） 2022/2/11 10 2.(P4 18) .質(zhì)量為 m的小孩站在半徑為 R 的水平平臺(tái)邊緣上，平臺(tái)可以繞通過其中心的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J 。 平臺(tái)和小孩開始時(shí)均靜止。當(dāng)小孩突然以相對(duì)于地面為 V 的速率在臺(tái)邊沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)向走動(dòng)時(shí)，則此平臺(tái)相對(duì)地面旋轉(zhuǎn)的角速度和旋轉(zhuǎn)方向分別為 [ ] 0J Rm V???)(22RVmRJmR???（ C） ， 順時(shí)針； )(22RVmRJmR???（ D） ， 逆時(shí)針。 )(2RVJmRω ?（ B） ， 逆時(shí)針； )(2RVJmRω ?（ A） ， 順時(shí)針； ∴ 選（ A ） 2 ( ) 0VJ m RR???分析 ： 2()m R VJR???同課本 2022/2/11 11 3.（ p8. 45 ） 半徑為 20cm 的主動(dòng)輪，通過皮帶拖動(dòng)半徑為 50cm 的被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)。主動(dòng)輪從靜止開始作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在 4s內(nèi)，被動(dòng)輪的角速度達(dá)到 8πrads1，則主動(dòng)輪在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過了 _____圈。 221 0 1 1 1 1 11122t t t? ? ? ?? ? ?1 0 1 1 1 1tt? ? ? ?? ? ?2211 rr ?? ?121211 412 trrn ???? ??則 兩輪邊緣上點(diǎn)的 線速度大小 相等： 主動(dòng)輪在 4s內(nèi)的角位移 )r e v(2048254 1 ????? ??121221 trr ??111t?? ?解 ： t = 4s 時(shí)， 2022/2/11 12 4. (P8 46) 一可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪，在 20Nm的總力矩作用下，在 10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到 8 rad/s， 飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J＝ 。 初 角速度為 : ω0=0 末角速度為 : ω=8(rad/s) 角加速度為： 解 ： 0ω ωβt?? 280 0 .8 ( / )10 ra d s???利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律 MJβ?MJβ? 220 2 5 ( )0 .8 k g m? ? ?2022/2/11 13 5. (P8 47) 一長為 l、 重 W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時(shí)，彈簧處于自然長度，墻和地面都是 光滑 的。當(dāng)梯子依墻而與地面成 θ角且處于平衡狀態(tài)時(shí)， (1)地面對(duì)梯子的作用力的大小為 。 (2)墻對(duì)梯子的作用力的大小為 。 (3)W、 k、 l、 θ應(yīng)滿足的關(guān)系式為 。 解 ： 剛體 平衡的條件： B A θ l 0 iiF ??0 iiM ??W NA NB f ANW? BNf? c os kl θ?12 c os si n c os 0 AWl θ fl θ Nl θ? ? ? ? ? ?c o s f k l θ?c o s kl θ W2 s i n W k l θ?2 si n W k l θ?2022/2/11 14