【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =8 ， ∴ 菱形 ABCD 的面積為 2 2 =4 ． 25． 2022 年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是 21 世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)．這次大會(huì)的會(huì)徽就是如圖，選定的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用來(lái)證明勾股定理的弦圖，可以說(shuō)是充分肯定了我國(guó)數(shù)學(xué)的成就，也弘揚(yáng)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化．弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的 小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積是 13，小正方形的面積是 1，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為 a，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為 b，那么你能求出（ a+b） 2 的值嗎？ 【考點(diǎn)】 勾股定理的證明． 【分析】 根據(jù)勾股定理可以求得 a2+b2 等于大正方形的面積，然后求四個(gè)直角三角 形的面積，即可得到 ab 的值，然后根據(jù)（ a+b） 2=a2+2ab+b2 即可求解． 【解答】 解：根據(jù)勾股定理可得 a2+b2=13， 四個(gè)直角三角形的面積是： ab 4=13﹣ 1=12，即： 2ab=12 則（ a+b） 2=a2+2ab+b2=13+12=25． 26．如圖，四邊形 ABCD 是矩形，點(diǎn) E 在 BC 邊上，點(diǎn) F 在 BC 延長(zhǎng)線上，且 ∠ CDF=∠ BAE． （ 1）求證：四邊形 AEFD 是平行四邊形； （ 2）若 DF=3， DE=4， AD=5，求 CD 的長(zhǎng)度． 【考點(diǎn)】 平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）直接利用矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出 BE=CF，進(jìn)而得出答案； （ 2）利用勾股定理的逆定理得出 ∠ EDF=90176。，進(jìn)而得出 ?ED?DF= EF?CD，求出答案即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB=DC， ∠ B=∠ DCF=90176。， ∵∠ BAE=∠ CDF， 在 △ ABE 和 △ DCF 中， ， ∴△ ABE≌△ DCF（ ASA）， ∴ BE=CF， ∴ BC=EF， ∵ BC=AD， ∴ EF=AD， 又 ∵ EF∥ AD， ∴ 四邊形 AEFD 是平行四邊形； （ 2）解：由（ 1）知： EF=AD=5， 在 △ EFD 中， ∵ DF=3， DE=4， EF=5， ∴ DE2+DF2=EF2， ∴∠ EDF=90176。， ∴ ?ED?DF= EF?CD， ∴ CD= ． 27．已知拋物線 y= x2+（ m﹣ 2） x+2m﹣ 6 的對(duì)稱軸為直線 x=1，與 x 軸交于 A，B 兩點(diǎn)（點(diǎn) A 在點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸交于點(diǎn) C． （ 1）求 m 的值； （ 2）直線 l 經(jīng)過(guò) B、 C 兩點(diǎn)，求直線 l 的解析式． 【考點(diǎn)】 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)． 【分析】 （ 1）由對(duì)稱軸公式即可求出 m 的值； （ 2）由拋物線的解析式求出 A、 B、 C 的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出直線 l 的解析式即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線 y= x2+（ m﹣ 2） x+2m﹣ 6 的對(duì)稱軸為直線 x=1， ∴ ﹣ =1， 解得： m=1； （ 2） ∵ m=1， ∴ 拋物線的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 4， 當(dāng) y=0 時(shí)， x2﹣ x﹣ 4=0， 解得： x=﹣ 2 或 x=4， ∴ A（﹣ 2， 0）， B（ 4， 0）， 當(dāng) x=0 時(shí)， y=﹣ 4， ∴ C（ 0，﹣ 4）， 設(shè)直線 l 的解析式為 y=kx+b， 根據(jù)題意得： ， 解得： ， ∴ 直線 l 的解析式為 y=﹣ x﹣ 4． 28．如圖， △ ABC 中，已知 ∠ BAC=45176。， AD⊥ BC 于 D， BD=4， DC=6，求 AD 的長(zhǎng)． 小萍同學(xué)靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)，將圖形進(jìn)行翻折變換，巧妙地解答了此題． 請(qǐng)按照小萍的思路，探究并解答下列問(wèn)題： （ 1）分別以 AB、 AC 為對(duì)稱軸，畫出 △ ABD、 △ ACD 的軸對(duì)稱圖形， D 點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 E、 F，延長(zhǎng) EB、 FC 相交于 G 點(diǎn)，證明四邊形 AEGF 是正方形； （ 2）設(shè) AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于 x 的方程模型，求出 x 的值． 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問(wèn)題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】 （ 1）先根據(jù) △ ABD≌△ ABE， △ ACD≌△ ACF，得出 ∠ EAF=90176。；再根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到 AE=AF，從而說(shuō)明四邊形 AEGF 是正方形； （ 2）利用勾股定理，建立關(guān)于 x 的方程模型（ x﹣ 4） 2+（ x﹣ 6） 2=102，求出 AD=x=12． 【解答】 （ 1）證明：由題意可得： △ ABD≌△ ABE， △ ACD≌△ ACF． ∴∠ DAB=∠ EAB， ∠ DAC=∠ FAC，又 ∠ BAC=45176。， ∴∠ EAF=90176。． 又 ∵ AD⊥ BC ∴∠ E=∠ ADB=90176。， ∠ F=∠ ADC=90176。． ∴ 四邊形 AEGF 是矩形， 又 ∵ AE=AD， AF=AD ∴ AE=AF． ∴ 矩形 AEGF 是正方形． （ 2）解：設(shè) AD=x，則 AE=EG=GF=x． ∵ BD=4， DC=6 ∴ BE=4， CF=6 ∴ BG=x﹣ 4， CG=x﹣ 6 在 Rt△ BGC 中， BG2+CG2=BC2， ∴ （ x﹣ 4） 2+（ x﹣ 6） 2=102． 化簡(jiǎn)得， x2﹣ 10x﹣ 24=0 解得 x1=12， x2=﹣ 2（舍去） 所以 AD=x=12． 29．如圖，點(diǎn) P（ x， y1）與 Q（ x， y2）分別是兩個(gè)函數(shù)圖象 C1 與 C2 上的任一點(diǎn)．當(dāng)a≤ x≤ b 時(shí)，有﹣ 1≤ y1﹣ y2≤ 1 成立，則稱這兩個(gè)函數(shù)在 a≤ x≤ b 上是 “相鄰函數(shù) ”，否則稱它們?cè)?a≤ x≤ b 上是 “非相鄰函數(shù) ”．例如，點(diǎn) P（ x， y1）與 Q （ x， y2）分別是兩個(gè)函數(shù) y=3x+1 與 y=2x﹣ 1 圖象上的任一點(diǎn)，當(dāng)﹣ 3≤ x≤ ﹣ 1 時(shí)， y1﹣ y2=（ 3x+1）﹣（ 2x﹣ 1） =x+2，通過(guò)構(gòu)造函數(shù) y=x+2 并研究它在﹣ 3≤ x≤ ﹣ 1 上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是﹣ 1≤ y≤ 1，所以﹣ 1≤ y1﹣ y2≤ 1 成立，因此這兩個(gè)函數(shù)在﹣ 3≤ x≤ ﹣ 1 上是 “相鄰函數(shù) ”． （ 1）判斷函數(shù) y=3x+1 與 y=2x+2 在 0≤ x≤ 2 上是否為 “相鄰函數(shù) ”，并說(shuō)明理由； （ 2）若函數(shù) y=x2﹣ x 與 y=x?a 在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”，求 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）通過(guò)構(gòu)建函數(shù) y=x﹣ 1，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出該函數(shù)在 0≤ x≤ 2 上單調(diào)遞增，分別代入 x=0、 x=2 即可得出 y 的取值范圍，由此即可得出結(jié)論； （ 2）由函數(shù) y=x2﹣ x 與 y=x?a 在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”，構(gòu)造函數(shù) y=x2﹣（ a+1）x，根據(jù)拋物線的位置不同，令其最大值 ≤ 最小值 ≥ ﹣ 1，解關(guān)于 a 的不等式組即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）函數(shù) y=3x+1 與 y=2x+2 在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”，理由如下： 點(diǎn) P（ x， y1）與 Q （ x， y2）分別是兩個(gè)函數(shù) y=3x+1 與 y=2x+2 圖象上的任一點(diǎn)， 當(dāng) 0≤ x≤ 2 時(shí)， y1﹣ y2=（ 3x+1）﹣（ 2x+2） =x﹣ 1， 通過(guò)構(gòu)造函數(shù) y=x﹣ 1 并研究它在 0≤ x≤ 2 上的性質(zhì)，得到該函數(shù)值的范圍是﹣ 1≤ y≤ 1， 所以﹣ 1≤ y1﹣ y2≤ 1 成立， 因此這兩個(gè)函數(shù)在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”． （ 2） ∵ 函數(shù) y=x2﹣ x 與 y=x?a 在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”， ∴ 構(gòu)造函數(shù) y=x2﹣（ a+1） x，在 0≤ x≤ 2 上﹣ 1≤ y≤ 1． 根據(jù)拋物線 y=x2﹣（ a+1） x 對(duì)稱軸的位置不同，來(lái)考慮： ① 當(dāng) ≤ 0，即 a≤ ﹣ 1 時(shí)（圖 1）， ，解得： a≥ ， ∴ 此時(shí)無(wú)解； ② 當(dāng) 0＜ ≤ 1，即﹣ 1＜ a≤ 1 時(shí)（圖 2）， ，解得： ≤ a≤ 1， ∴ ≤ a≤ 1； ③ 當(dāng) 1＜ ≤ 2，即 1＜ a≤ 3 時(shí)（圖 3）， ，解得：﹣ 3≤ a≤ 1， ∴ 此時(shí)無(wú)解； ④ 當(dāng) 2＜ ，即 a＞ 3 時(shí)（圖 4）， ，解得： a≤ ， ∴ 此時(shí)無(wú)解． 綜上可知：若函數(shù) y=x2﹣ x 與 y=x?a 在 0≤ x≤ 2 上是 “相鄰函數(shù) ”，則 a 的取值范圍為 ≤ a≤ 1． 中考數(shù)學(xué)模試卷 一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3 分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的． 1．從 2022 年秋季學(xué)期起，北京 110 000 名初一新生通過(guò) “北京市初中實(shí)踐活動(dòng)管理服務(wù)平臺(tái) ”進(jìn)行選課，參加 “開放性科學(xué)實(shí)踐活動(dòng) ”課程．將 110 000 用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ） A． 11 104 B． 105 C． 106 D． 106 2．實(shí)數(shù) a， b， c， d 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，其中互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)是（ ） A． a 和 d B． a 和 c C． b 和 d D． b 和 c 3． 2022 年是中國(guó)農(nóng)歷丙申猴年，下列四個(gè)猴子頭像中，是軸對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 4．學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)有 20 道試題，其中有關(guān)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的試題10 道，實(shí)踐應(yīng)用試題 6 道，創(chuàng)新能力試題 4 道．小捷從中任選一道試題作答，他選中創(chuàng)新能力試題的概率是（ ） A． B． C． D． 5．如圖，直線 m∥ n， ∠ 1=70176。， ∠ 2=30176。，則 ∠ A 等于（ ） A． 30176。 B． 35176。 C． 40176。 D． 50176。 6．為了解某種電動(dòng)汽車一次充電后行駛的里程數(shù)，對(duì)其進(jìn)行了抽檢，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，則在一次充電后行駛的里程數(shù)這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ） A． 220， 220 B． 220， 210 C． 200， 220 D． 230， 210 7．為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測(cè)試距離為 5m 的大視力表制作一個(gè)測(cè)試距離為 3m 的小視力表．如圖，如果大視力表中 “E”的高度是 ，那么小視力表中相應(yīng) “E”的高度是（ ） A． 3cm B． C． D． 8．象棋在中國(guó)有著三千多年的歷史，由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，成為流行極為廣泛的益智游戲．如圖，是一局象棋殘局，已知表示棋子 “馬 ”和 “車 ”的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（ 4， 3），（﹣ 2， 1），則表示棋子 “炮 ”的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A．（﹣ 3， 3） B．（ 3， 2） C．（ 0， 3） D．（ 1， 3） 9．手工課上，老師將同學(xué)們分成 A， B 兩個(gè)小組制作兩個(gè)汽車模型，每個(gè)模型先由 A 組同學(xué)完成打磨工作，再由 B 組同學(xué)進(jìn)行組裝完成制作，兩個(gè)模型每道工序所需時(shí)間如下： 工序 時(shí)間 模型 打磨（ A 組） 組裝（ B 組） 模型甲 9 分鐘 5 分鐘 模型乙 6 分鐘 11 分鐘 則這兩個(gè)模型都制作完成所需的最短時(shí)間為（ ） A． 20 分鐘 B． 22 分鐘 C． 26 分鐘 D． 31 分鐘 10．如圖 1， △ ABC 是一塊等邊三角形場(chǎng)地，點(diǎn) D， E 分別是 AC， BC 邊上靠近 C點(diǎn)的三等分點(diǎn)．現(xiàn)有一個(gè)機(jī)器人（點(diǎn) P）從 A 點(diǎn)出發(fā)沿 AB 邊運(yùn)動(dòng)，觀察員選擇了一個(gè)固定的位置記錄機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)情況．設(shè) AP=x，觀察員與機(jī)器人之間的距離為 y，若表示 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 2 所示，則觀察員所處的位置可能是圖 1 的（ ） A．點(diǎn) B B．點(diǎn) C C．點(diǎn) D D．點(diǎn) E 二、填空題（本題共 18 分，每小題 3 分） 11．因式分解： a3﹣ ab2= ． 12．如圖，一個(gè)正 n 邊形紙片被撕掉了一部分，已知它的中心角是 40176。，那么 n= ． 13．關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣ 2x+m=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足條件的 m 值： m= ． 14．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，記有許多有趣而又不乏技巧的算術(shù)程式．其中記載： “今有甲、乙二人，持錢各不知數(shù)．甲得乙中半，可滿四十八．乙得甲太半，亦滿四十八．問(wèn)甲、乙二人原持錢各幾何？ ” 譯文： “甲，乙兩人各有若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢 48文．如果乙得到甲所有錢的 ，那么乙也共有錢 48 文．問(wèn)甲，乙二人原來(lái)各有多少錢？ ” 設(shè)甲原有 x 文錢，乙原有 y 文錢，可列方程組為 ． 15．我國(guó) 2022﹣ 2022 年高鐵運(yùn)營(yíng)里程情況統(tǒng)計(jì)如圖所示，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，預(yù)估 2022 年我國(guó)高鐵運(yùn)營(yíng)里程約為 萬(wàn)公里，你的預(yù)估理由是 ． 16．閱讀下面材料：