【文章內(nèi)容簡介】 （ 2）求點 P的坐標； （ 3）點 Q在 x軸上，若以 Q、 O、 P為頂點的三角形與以點 C、 A、 B為頂點的三角形相似，求點 Q的坐標． 第 20 頁（共 51 頁） 【考點】相似形綜合題． 【分析】（ 1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論； （ 2）先判斷出 △ PMC≌△ PNB，再用 PC2=PB2，建立方程求解即可； （ 3）先判斷出點 Q只能在點 O左側(cè)，再分兩種情況討論計算即可． 【解答】解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2﹣ 4ax+1， ∴ 點 C的坐標為（ 0， 1）． ∵ OB=3OC， ∴ 點 B的坐標為（ 3， 0）． ∴ 9a﹣ 12a+1=0， ∴ ． ∴ ． （ 2）如圖， 過點 P作 PM⊥ y軸， PN⊥ x 軸，垂足分別為點 M、 N． ∵∠ MPC=90176。 ﹣ ∠ CPN， ∠ NPB=90176。 ﹣ ∠ CPN， ∴∠ MPC=∠ NPB． 在 △ PCM和 △ PBN中， ， ∴△ PMC≌△ PNB， 第 21 頁（共 51 頁） ∴ PM=PN． 設點 P（ a， a）． ∵ PC2=PB2， ∴ a2+（ a﹣ 1） 2=（ a﹣ 3） 2+a2． 解得 a=2． ∴ P（ 2， 2）． （ 3） ∵ 該拋物線對稱軸為 x=2， B（ 3， 0）， ∴ A（ 1， 0）． ∵ P（ 2， 2）， A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 1）， ∴ PO= ， AC= ， AB=2． ∵∠ CAB=135176。 ， ∠ POB=45176。 ， 在 Rt△ BOC中， tan∠ OBC= ， ∴∠ OBC≠ 45176。 ， ∠ OCB＜ 90176。 ， 在 Rt△ OAC中， OC=OA， ∴∠ OCA=45176。 ， ∴∠ ACB＜ 45176。 ， ∴ 當 △ OPQ與 △ ABC相似時，點 Q只有在點 O左側(cè)時． （ i）當 時， ∴ ， ∴ OQ=4， ∴ Q（﹣ 4， 0）． （ ii）當 時， ∴ ， ∴ OQ=2， ∴ Q（﹣ 2， 0）． 當點 Q在點 A右側(cè)時， 綜上所述，點 Q的坐標為（﹣ 4， 0）或（﹣ 2， 0）． 第 22 頁（共 51 頁） 【點評】此題是相似形綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出點 Q 只能在點 O 的左側(cè)，是一道很好的中考常考題． 25．已知：如圖，在菱形 ABCD 中， AB=5，聯(lián)結(jié) BD， sin∠ ABD= ．點 P是射線 BC上的一個動點（點P 不與點 B重合），聯(lián)結(jié) AP，與對角線 BD相交于點 E，聯(lián)結(jié) EC． （ 1）求證： AE=CE； （ 2）當點 P 在線段 BC 上時，設 BP=x， △ PEC 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域； （ 3）當點 P在線段 BC的延長線上時，若 △ PEC是直角三角形，求線段 BP的長． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（ 1）由菱形的性質(zhì)得出 BA=BC， ∠ ABD=∠ CBD．由 SAS證明 △ ABE≌△ CBE，即可得出結(jié) 論． （ 2）聯(lián)結(jié) AC，交 BD 于點 O，過點 A 作 AH⊥ BC 于 H，過點 E 作 EF⊥ BC 于 F，由菱形的性質(zhì)得出 AC⊥ BD．由三角函數(shù)求出 AO=OC= ， BO=OD= ．由菱形面積得出 AH=4， BH=3．由相似三角形的性質(zhì)得出 ，求出 EF 的長，即可得出答案； ∴ ， （ 3）因為點 P在線段 BC的延長線上，所以 ∠ EPC不可能為直角．分情況討論： ① 當 ∠ ECP=90176。 時， ② 當 ∠ CEP=90176。 時，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案． 【解答】解：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∴ BA=BC， ∠ ABE=∠ CBE． 第 23 頁（共 51 頁） 在 △ ABE和 △ CBE中， 又 ∵ BE=BE， ∴△ ABE≌△ CBE ∴ AE=CE． （ 2）連接 AC，交 BD 于點 O，過點 A作 AH⊥ BC，過點 E作 EF⊥ BC，如圖 1所示： 垂足分別為點 H、 F． ∵ 四邊形 ABCD是菱形， ∴ AC⊥ BD． ∵ AB=5， ， ∴ AO=OC= ， BO=OD= ． ∵ ， ∴ AH=4， BH=3． ∵ AD∥ BC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ EF∥ AH， ∴ ， ∴ ． ∴ ． （ 3）因為點 P在線段 BC的延長線上，所以 ∠ EPC不可能為直角．如圖 2所示： ① 當 ∠ ECP=90176。 時 ∵△ ABE≌△ CBE， ∴∠ BAE=∠ BCE=90176。 ， 第 24 頁（共 51 頁） ∵ ， ∴ ， ∴ BP= ． ② 當 ∠ CEP=90176。 時， ∵△ ABE≌△ CBE， ∴∠ AEB=∠ CEB=45176。 ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ AD∥ BP， ∴ ， ∴ ， ∴ BP=15． 綜上所述，當 △ EPC是直角三角形時，線段 BP 的長為 或 15． 【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵． 第 25 頁（共 51 頁） 中考數(shù)學試卷 一、選擇題（共 10 小題，每小題 4 分，滿分 40 分） 1．（﹣ ） 0 的值是（ ） A． 1 B．﹣ 1 C． 0 D．﹣ 2．如圖是將正方體切去一個角后形成的幾何體，則其主（正）視圖為（ ） A． B． C． D． 3．不透明袋子裝有 4 個紅球， 2 個白球，它們除顏色不同外其余都相同，從中任取 3個，則下列事件為必然事件的是（ ） A．至少有 1 個球是紅球 B．至少有 1 個球是白球 C．至少有 2 個球是紅球 D．至少有 2 個球是白球 4．下列各式運算結(jié)果為 a5 的是（ ） A．（ a2） 3 B． a2+a3 C． a2?a3 D． a10247。 a2 5．已知命題： “三角形外心一定不在三角形內(nèi)部 ”，下列選項中，可以作為該命題是假命題的反例是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 6．小明在五天投擲鉛球訓練中，每天訓練的最好成績（單位： m）分別為 ， ， ， ，關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯誤的是（ ） A．平均數(shù)是 B．中位數(shù)是 C．眾數(shù)是 D．方差是 7．如圖，已知 △ ABC， AB＜ BC，用尺規(guī)作圖的方法在 BC 上取一點 P，使得 PA+PC=BC，則下列選項正確的是（ ） A． B． C． D． 第 26 頁（共 51 頁） 8．若﹣ 2a＜ ﹣ 2b，則 a＞ b，則根據(jù)是（ ） A．不等式的基本性質(zhì) 1 B．不等式的基本性質(zhì) 2 C．不等式的基本性質(zhì) 3 D．等式的基本性質(zhì) 2 9．如圖，是在直角坐標系中圍棋子擺出的圖案，若再擺放一黑一白兩枚棋子，使 9 枚棋子組成的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則這兩枚棋子的坐標是（ ） A．黑（ 3， 3），白（ 3， 1） B．黑（ 3， 1），白（ 3， 3） C．黑（ 1， 5），白（ 5， 5） D．黑（ 3， 2），白（ 3， 3） 10．如圖，菱形 ABCD 對角線 AC， BD 相交于點 O，有下列結(jié)論： ① OA=OD， ② AC⊥ BD， ③∠ 1=∠ 2， ④ S 菱形 ABCD=AC?BD． 其中正確的序號是（ ） A． ①② B． ③④ C． ②④ D． ②③ 二、填空題（共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分） 11．到 2022 年底，漳州市戶籍人口數(shù)量首次突破 5000000 人，則數(shù)據(jù) 5000000 用科學記數(shù)法表示為 ． 12．一個正方形的面積是 a2+2a+1（ a＞ 0），則其邊長為 ． 13．如圖， A（ 0， 2）， B（ 2， 0），雙曲線 y= 經(jīng)過線段 AB 的中點 P，則 k 的值是 ． 第 27 頁（共 51 頁） 14．如圖，四邊形 ABCD 中， ∠ A=100176。， ∠ C=70176。．將 △ BMN 沿 MN 翻折，得 △ FMN，若 MF∥ AD， FN∥ DC，則 ∠ B= 度． 15．如圖，有紅、黃、藍粗細均勻的木棍各一根分別穿過木板，甲乙兩人在木板的兩側(cè)同時隨機抓住一根木棍，則他們抓住的木棍顏色相同的概率是 ． 16．如圖，在邊長為 6 的等邊 △ ABC 中， AD⊥ BC 于 D，點 E， F 分別在 AD， AB 上，則BE+EF 的最小值是 ． 三、解答題（共 9 小題，滿分 86 分） 17．計算： |﹣ 6|﹣ ﹣（ ） ﹣ 1． 18．觀察下列方程組，解答問題： ① ； ② ； ③ ； … （ 1）在以上 3 個方程組的解中，你發(fā)現(xiàn) x 與 y 有什么數(shù)量關(guān)系？（不必說理） 第 28 頁（共 51 頁） （ 2）請你構(gòu)造第 ④ 個方程組，使其滿足上述方程組的結(jié)構(gòu)特征，并驗證（ 1）中的結(jié)論． 19．數(shù)學課上，老師要求學生證明命題： “角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等 ”，以下是小華解答的部分內(nèi)容（缺少圖形和證明過程）．請你把缺少內(nèi)容補充完整． 已知：點 P 在 ∠ AOB 的角平分線 OC 上， PD⊥ OA 于 D， PE⊥ OB 于 E，求證： PD=PE． 20．國家在對某校八年級學生進行質(zhì)量監(jiān)測（滿分 100 分）后，從中隨機抽查若干名學生的成績，根據(jù)成績等級（ A 級： 85﹣ 100； B 級： 70﹣ 84， C 級： 60﹣ 69； D 級： 0﹣59），繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請回答問題： （ 1）此次抽查到的學生數(shù)為 人； （ 2）補充兩幅統(tǒng)計圖； （ 3）若該年級學生共 500 人，估計其中成績?yōu)?A 級的人數(shù)是 人． 21．如圖， ⊙ O 直徑 AB 與弦 AC 的夾角 ∠ A=30176。，過 C 點的切線與 AB 的延長線交于點 P． （ 1）求證： CA=CP； （ 2）已知 ⊙ O 的半徑 r= ，求圖中陰影部分的面積 S． 22．如圖是某校體育場內(nèi)一 看臺的截面圖，看臺 CD 與水平線的夾角為 30176。，最低處 C與地面的距離 BC 為 米，在 C， D 正前方有垂直于地面的旗桿 EF，在 C， D 兩處測得旗桿頂端 F 的仰角分別為 60176。和 30176。， CD 長為 10 米，升旗儀式中，當國歌開始播放時，國旗也在離地面 米的 P 處同時冉冉升起，國歌播放結(jié)束時，國旗剛好上升到旗桿頂端 F，已知國歌播放時間為 46 秒，求國旗上升的平均速度．（結(jié)果精確到 米 /秒） 第 29 頁（共 51 頁） 23．某校在去年購買 A， B 兩種足球，費用分別為 2400 元和 2022 元，其中 A 種足球數(shù)量是 B 種足球數(shù)量的 2 倍， B 種足球單價比 A 種 足球單價多 80 元 /個． （ 1）求 A， B 兩種足球的單價； （ 2）由于該校今年被定為 “足球特色校 ”，學校決定再次購買 A， B 兩種足球共 18 個，且本次購買 B 種足球的數(shù)量不少于 A 種足球數(shù)量的 2 倍，若單價不變，則本次如何購買才能使費用 W 最少？ 24．如圖 1，拋物線 l1： y=﹣ x2+2x+3 與 x 軸的正半軸和 y 軸分別交于點 A， B，頂點為 C，直線 BC 交 x 軸于點 D． （ 1）直接寫出點 A 和 C 的坐標； （ 2）把拋物線 l1 沿直線 BC 方向平移，使平移后的拋物線 l2 經(jīng)過點 A，點 E 為其頂點．求拋物線 l2 的解析式，并在圖 1 中畫出其大致圖象， 標出點 E 的位置；在 x 軸上是否存在點 P，使 △ CEP 是直角三角形？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由．（注：該步若要用到備用圖，則不要求再畫出拋物線 l2 的大致圖象） 25．在四邊形 ABCD 中， M 是 AB 邊上的動點，點 F 在 AD 的延長線上，且 DF=DC， N 為MD 的中點．連接 BN， CN，作 NE⊥ BN 交直線 CF 于點 E． （ 1）如圖 1，若四邊形 ABCD 為正方形，當點 M 與 A 重合時，求證； NB=NC=NE； （ 2）如圖 2，若四邊形 ABCD 為正方形，當點 M 與 A 不重合時，（ 1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； （ 3）如圖 3，若四邊形 ABCD 為矩形，當點 M 與 A 不重合，點 E 在 FC 的延長線上時，請你就線段 NB， NC， NE 提出一個正確的結(jié)論．（不必說理） 第