【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 E，交 BC 于點(diǎn) F，連接 BE，交 AD 于點(diǎn) G． （ 1）求證：四邊形 ABDE 是菱形； （ 2）若 BD=14， cos∠ GBH= ，求 GH 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）首先證明四邊形 ABDE 是平行四邊形，再根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)證明 ∠ BAD=∠ ADB，然后可得 AB=BD，從而可得結(jié)論； （ 2）首先證明 ∠ GAB=∠ GBH，根據(jù) cos∠ GBH= 可得 cos∠ GAB= ，根據(jù)余弦定義可得 = = ，再由菱形的性質(zhì)可得 AB=BD=14，從而可得 AH、 AG 的長(zhǎng)，進(jìn)而可得 GH 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AC∥ BD， AB∥ ED， ∴ 四邊形 ABDE 是平行四邊形， ∵ AD 平分 ∠ CAB， ∴∠ CAD=∠ BAD， ∵ AC∥ BD， ∴∠ CAD=∠ ADB， ∴∠ BAD=∠ ADB， ∴ AB=BD， ∴ 四邊形 ABDE 是菱形； （ 2）解： ∵∠ ABC=90176。， ∴∠ GBH+∠ ABG=90176。， ∵ AD⊥ BE， ∴∠ GAB+∠ ABG=90176。， ∴∠ GAB=∠ GBH， ∵ cos∠ GBH= ， ∴ cos∠ GAB= ， ∴ = = ， ∵ 四邊形 ABDE 是菱形， BD=14， ∴ AB=BD=14， ∴ AH=16， AG= ， ∴ GH=AH﹣ AG= ． 24．閱讀下面材料： 春節(jié)是中國(guó)最重要的傳統(tǒng)佳節(jié)，而為期 40 天的春運(yùn)被稱為 “人類規(guī)模最大的周期性遷徙 ”． 2022 年春運(yùn) 40 天，全國(guó)鐵路客運(yùn)量 億人次，同比增長(zhǎng) %；全國(guó)公路客運(yùn)量 億人次，同比增長(zhǎng) 3%；水路客運(yùn)量 4260 萬(wàn)人次，同比下降 %；民航客運(yùn)量 5140 萬(wàn)人次，同比增長(zhǎng) %．今年春運(yùn)在正月初七達(dá)到最高峰，鐵路春運(yùn)再創(chuàng)單日旅客發(fā)送人數(shù)新高，達(dá)到 萬(wàn)人次． 2022 年春運(yùn)40 天，全國(guó)鐵路客運(yùn)量 億人次，同比增幅 %．全國(guó)公路客運(yùn)量 億人次，水路客運(yùn)量 4284 萬(wàn)人次，民航客運(yùn)量 4914 萬(wàn)人次． 2022 年春運(yùn) 40 天，全國(guó)公路客運(yùn)量 億人次；民航客運(yùn)量 4407 萬(wàn)人次；全國(guó)鐵路客運(yùn)量 億人次，增長(zhǎng)約 12%．其中， 2 月 6 日全國(guó)鐵路客運(yùn)量達(dá)到 萬(wàn)人次，比去年春運(yùn)最高峰日多發(fā)送 萬(wàn)人次． 根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題： （ 1） 2022 年春運(yùn) 40 天全國(guó)民航客運(yùn)量比 2022 年多 733 萬(wàn)人次； （ 2）請(qǐng)你選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，將 2022～ 2022 年春運(yùn) 40 天全國(guó)鐵路、公路客運(yùn)量表示出來(lái)． 【考點(diǎn)】 統(tǒng)計(jì)圖的選擇；用樣本估計(jì)總體． 【分析】 （ 1）根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案； （ 2）根據(jù)運(yùn)客量，可得統(tǒng)計(jì)表． 【解答】 解：（ 1） 5140﹣ 4407=733 萬(wàn)人， 故答案為： 733； （ 2） 2022～ 2022 年春運(yùn) 40 天全國(guó)鐵路、公路客運(yùn)量統(tǒng)計(jì)表（單位：億人次） 公共交通 鐵路 公路 客運(yùn)量 年份 2022 2022 2022 25．如圖，在 △ ABC 中， AB=AC，以 AC 為直徑作 ⊙ O 交 BC 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作 ⊙O 的切線，交 AB 于點(diǎn) E，交 CA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F． （ 1）求證： EF⊥ AB； （ 2）若 ∠ C=30176。， EF= ，求 EB 的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）連接 AD、 OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出 ∠ ADC=90176。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明 D 是 BC 的中點(diǎn)，得到 OD 是 △ ABC 的中位線，根據(jù)切線的性質(zhì)證明結(jié)論； （ 2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到 ∠ AOD=60176。， ∠ F=30176。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到 OA=OD= OF，求得 AE= 根據(jù)平行線等分線段定理得到 OD=2AE=2 ，AB=2OD=4 ，由線段的和差即可得到結(jié)論． 【解答】 （ 1）證明：連接 AD、 OD， ∵ AC 為 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADC=90176。， 又 ∵ AB=AC， ∴ CD=DB，又 CO=AO， ∴ OD∥ AB， ∵ FD 是 ⊙ O 的切線， ∴ OD⊥ EF， ∴ FE⊥ AB； （ 2） ∵∠ C=30176。， ∴∠ AOD=60176。， ∴∠ F=30176。， ∴ OA=OD= OF， ∵∠ AEF=90176。EF= ， ∴ AE= ， ∵ OD∥ AB， OA=OC=AF， ∴ OD=2AE=2 ， AB=2OD=4 ， ∴ EB=3 ． 26．閱讀下面材料： 上課時(shí)李老師提出這樣一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，關(guān)于 x 的不等式 x2﹣ 2x﹣ 1﹣ a＞ 0 恒成立，求 a 的取值范圍． 小捷的思路是：原不等式等價(jià)于 x2﹣ 2x﹣ 1＞ a，設(shè)函數(shù) y1=x2﹣ 2x﹣ 1， y2=a，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象的示意圖，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù) y1 的圖象在 y2 的圖象上方時(shí) a 的取值范圍． 請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答： 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，關(guān)于 x 的不等式 x2﹣ 2x﹣ 1﹣ a＞ 0 恒成立，則 a 的取值范圍是 a＜ ﹣ 2 ． 參考小捷思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題： 關(guān)于 x 的方程 x﹣ 4= 在 0＜ a＜ 4 范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】 請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答：直接根據(jù)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)可得出 a 的取值范圍；設(shè) y1=x2﹣ 4x+3， y2=a，記函數(shù) y1 在 0＜ x＜ 4 內(nèi)的圖象為 G，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y2=a 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) a 的取值范圍，結(jié)合圖象可得出結(jié)論． 【解答】 解：請(qǐng)結(jié)合小捷的思路回答： 由函數(shù)圖象可知， a＜ ﹣ 2 時(shí)，關(guān)于 x 的不等式 x2﹣ 2x﹣ 1﹣ a＞ 0 恒成立． 故答案為： a＜ ﹣ 2． 解決問(wèn)題：將原方程轉(zhuǎn)化為 x2﹣ 4x+3=a， 設(shè) y1=x2﹣ 4x+3， y2=a，記函數(shù) y1 在 0＜ x＜ 4 內(nèi)的圖象為 G，于是原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y2=a 與 G 有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí) a 的取值范圍，結(jié)合圖象可知， a 的取值范圍是：﹣ 1＜ a＜ 3． 27．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，拋物線 C： y=mx2+4x+1． （ 1）當(dāng)拋物線 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（﹣ 5， 6）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）當(dāng)直線 y=﹣ x+1 與直線 y=x+3 關(guān)于拋物線 C 的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，求 m 的值； （ 3）若拋物線 C： y=mx2+4x+1（ m＞ 0）與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣ 1 和 0 之間（不包括﹣ 1 和 0），結(jié)合函數(shù)的圖象，求 m 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)． 【分析】 （ 1）把點(diǎn) A（﹣ 5， 6）代入拋物線 y=mx2+4x+1 求出 m 的值，即可得出拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）先求出直線 y=﹣ x+1 與直線 y=x+3 的交點(diǎn)，即可得出其對(duì)稱軸，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程求出 m 的值即可； （ 3）根據(jù)拋物線 C： y=mx2+4x+1（ m＞ 0）與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣ 1 和 0之間可知當(dāng) x=﹣ 1 時(shí)， y＞ 0，且 △≥ 0，求出 m 的取值范圍即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線 C： y=mx2+4x+1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（﹣ 5， 6）， ∴ 6=25m﹣ 20+1，解得 m=1， ∴ 拋物線的表達(dá)式為 y=x2+4x+1=（ x+2） 2﹣ 3， ∴ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 3）； （ 2） ∵ 直線 y=﹣ x+1 與直線 y=x+3 的交點(diǎn)為（﹣ 1， 2）， ∴ 兩直線的對(duì)稱軸為直線 x=﹣ 1． ∵ 直線 y=﹣ x+1 與直線 y=x+3 關(guān)于拋物線 C 的對(duì)稱軸對(duì)稱， ∴ ﹣ =﹣ 1，解得 m=2； （ 3） ∵ 拋物線 C： y=mx2+4x+1（ m＞ 0）與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣ 1 和 0 之間， ∴ 當(dāng) x=﹣ 1 時(shí)， y＞ 0，且 △≥ 0，即 ，解得 3＜ m≤ 4． 28．在正方形 ABCD 中， E 為邊 CD 上一點(diǎn)，連接 BE． （ 1）請(qǐng)你在圖 1 畫(huà)出 △ BEM，使得 △ BEM 與 △ BEC 關(guān)于直線 BE 對(duì)稱； （ 2）若邊 AD 上存在一點(diǎn) F，使得 AF+CE=EF，請(qǐng)你在圖 2 中探究 ∠ ABF 與 ∠ CBE的數(shù)量關(guān)系并證明； （ 3）在（ 2）的條件下，若點(diǎn) E 為邊 CD 的三等分點(diǎn)，且 CE＜ DE，請(qǐng)寫(xiě)出求 cos∠ FED 的思路．（可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）由題意畫(huà)出圖形即可； （ 2）根據(jù)正方形的性質(zhì)，判斷出 △ BAF≌△ BCG，再判斷出 △ BEF≌△ BEG 即可； （ 3）由題意表示出線段，再用 EF2=DF2+DE2，列出方程，解出即可． 【解答】 （ 1）補(bǔ)全圖形，如圖 1 所示， ∠ ABF 與 ∠ CBE 的數(shù)量關(guān)系為： ∠ ABF+CBE=45176。， 證明：如圖 2， 連接 BF， EF，延長(zhǎng) DC 到 G，使 CG=AF，連接 BG， ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC， ∠ A=∠ BCD=∠ ABC=90176。， ∴△ BAF≌△ BCG， ∴ BF=BG， ∠ ABF=∠ CBG， ∵ AF+CE=EF， ∴ EF=GE， ∴△ BEF≌△ BEG， ∴∠ FBE=∠ GBE=∠ ABF+∠ CBE， ∴∠ ABF+∠ CBE=45176。． （ 3）解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 3a， AF=x， ∵ 點(diǎn) E 是 CD 三等分點(diǎn) ∴ EF=CG+CE=x+a， DE=2a， DF=3a﹣ x， 在 Rt△ DEF 中， EF2=DF2+DE2， ∴ （ x+a） 2=（ 3a﹣ x） 2+（ 2a） 2， ∴ x= a， ∴ EF=x+a= a+a= ， ∴ cos∠ FED= = = ． 29．在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，圖形 W 在坐標(biāo)軸上的投影長(zhǎng)度定義如下：設(shè)點(diǎn)P（ x1， y1）， Q（ x2， y2）是圖形 W 上的任意兩點(diǎn)．若 |x1﹣ x2|的最大值為 m，則圖形 W 在 x 軸上的投影長(zhǎng)度 l1=M；若 |y1﹣ y2|的最大值為 n，則圖形 W 在 y 軸上的投影長(zhǎng)度 ly=n．如圖 1，圖形 W 在 x 軸上的投影長(zhǎng)度 lx=|3﹣ 1|=2；在 y 軸上的投影長(zhǎng)度 ly=|4﹣ 0|=4． （ 1）已知點(diǎn) A（ 3， 3）， B（ 4， 1）．如圖 2 所示，若圖形 W 為 △ OAB，則 lx 4 ，ly 3 ． （ 2）已知點(diǎn) C（ 4， 0），點(diǎn) D 在直線 y=2x+6 上，若圖形 W 為 △ OCD．當(dāng) lx=ly 時(shí)，求點(diǎn) D 的坐標(biāo)． （ 3）若圖形 W 為函數(shù) y=x2（ a≤ x≤ b）的圖象，其中 0≤ a＜ b．當(dāng)該圖形滿足 lx=ly≤ 1 時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 a 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）確定出點(diǎn) A 在 y 軸的投影的坐標(biāo)、點(diǎn) B 在 x 軸上投影的坐標(biāo)，于是可求得問(wèn)題的答案； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥ x 軸，垂足為 P．設(shè) D（ x， 2x+6），則 PD=|2x+6|． PC=|3﹣x|，然后依據(jù) lx=ly，列方程求解即可； （ 3）設(shè) A（ a， a2）、 B（ b， b2）．分別求得圖形在 y 軸和 x 軸上的投影，由 lx=ly可得到 b+a=1，然后根據(jù) 0≤ a＜ b 可求得 a 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ A（ 3， 3）， ∴ 點(diǎn) A 在 y 軸上的正投影的坐標(biāo)為（ 0， 3）． ∴△ OAB 在 y 軸上的投影長(zhǎng)度 ly=3． ∵ B（ 4， 1）， ∴ 點(diǎn) B 在 x 軸上的正投影的坐標(biāo)為（ 4， 0）． ∴△ OAB 在 x 軸上的投影長(zhǎng)度 lx=4． 故答案為： 4； 3． （ 2）如圖 1 所示；過(guò)點(diǎn) P 作 PD⊥ x 軸，垂足為 P． 設(shè) D（ x， 2x+6），則 PD=2x+6． ∵ PD⊥ x 軸， ∴ P（ x， 0）． ∴ PC=3﹣ x． ∵ lx=ly， ∴ 2x+6=3﹣ x，解得； x=﹣ 1． ∴ D（﹣ 1， 4）． 如圖 2 所示：過(guò)點(diǎn) D 作 DP⊥ x 軸，垂足為 P． 設(shè) D（ x， 2x+6），則 PD=﹣ 2x﹣ 6． ∵ PD⊥ x 軸， ∴ P（ x， 0）． ∴ PC=3﹣ x． ∵ lx=ly， ∴ ﹣ 2x﹣ 6=3﹣ x，解得； x=﹣ 9． ∴ D（﹣ 9，﹣ 12）． 綜上所述，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4）或（﹣ 9，﹣ 12）． （ 3）如圖 3 所示： 設(shè) A（ a， a2）、 B（ b， b2）．則 CE=b﹣ a， DF=b2﹣ a2=（ b+a）（ b﹣ a）． ∵ lx=ly， ∴ （ b+a