【文章內容簡介】 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x m k x x m? ? ? ? ? ? ? ? ?，將條件轉化為 221 2 1 2( 1 ) ( ) 0k x x m k x x m? ? ? ? ?，再通過直線和拋物線聯立，計算判別式后，可以得到 12xx ， 12xx? ，解出 k、 m 的等式，就可以了。 解：設 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由2 2y kx my px???? ?? 得， 2 2 2 0ky py mp? ? ?，（這里消 x 得到的） 則 24 8 0p m kp? ? ? ???????（ 1） 由韋達定理，得：1 2 1 222p m py y y ykk? ? ?， 則 21 2 1 2 1 212 2()y m y m y y m y y mxx k k k? ? ? ? ???， 以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點 O，則 OA? OB，即 1 2 1 2 0x x y y??， 可得 21 2 1 2122() 0y y m y y m yyk? ? ? ??，則 22(1 ) 2 2 0k mp pm m k? ? ? ?， 即 2220k mp m k??，又 0mk? ，則 2m kp?? ，且使（ 1）成立， 此時 2 ( 2 )l y k x m k x k p k x p? ? ? ? ? ?： ，直線恒過點 (2 ,0)p 。 名師指點： 這個題是課本上的很經典的題， 例題 （ 07 山東理）就是在這個題的基礎上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時，把我們騰飛學校老師講解的內容理解透，在高考中考取 140 多分，應該不成問題。 本題解決過程中，有一個消元技巧，就是直線和拋物線聯立時，要消去一次項，計算量小一些，也運用了同類坐標變換 —— 韋達定理，同點縱、橫坐標變換 直線方程的縱坐標表示橫坐標。其實解析幾何就這么點知識， 你發(fā)現了嗎？ 題型四： 過 已知曲線上 定點的弦的 問題 若直線過的定點在已知曲線上，則過定點的直線的方程和曲線聯立，轉化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達定理結合定點的坐標就可以求出另一端點的坐溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 14 標，進而解決問題。下面我們就通過例題領略一下思維過程。 例題 已知點 A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點，其中點 A(2 3,0)是橢圓的右頂點，直線 BC 過橢圓的 中心 O，且 0AC BC? ， 2BC AC? ，如圖。 (I)求點 C 的坐標及橢圓 E 的方程； (II)若橢圓 E 上存在兩點 P、 Q，使得直線 PC 與直線 QC 關于直線 3x? 對稱，求直線 PQ的斜率。 解： (I) 2BC AC? ，且 BC 過橢圓的中心 O OC AC?? 0AC BC ? 2ACO ??? ? 又 A (2 3,0) ?點 C 的坐標為 ( 3, 3) 。 A(2 3,0) 是橢圓的右頂點， 23a?? ，則橢圓方程為： 222 112xyb?? 將點 C( 3, 3) 代入方程，得 2 4b? ， ?橢圓 E 的方程為 22112 4xy?? (II) 直線 PC 與直線 QC 關于直線 3x? 對稱， 溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 15 ?設直線 PC 的斜率為 k ，則直線 QC 的斜率為 k? ，從而直線 PC 的方程為： 3 ( 3 )y k x? ? ?，即 3 (1 )y kx k? ? ?， 由223 (1 )3 12 0y kx kxy? ? ? ??? ? ? ???消 y，整理得： 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?3x? 是方程的一個根， 229 1 8 33 13P kkx k???? ? 即 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? 同理可得： 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? 3 ( 1 ) 3 ( 1 )P Q P Qy y k x k k x k? ? ? ? ? ? ?＝ ( ) 2 3PQk x x k?? ＝2123(1 3 )kk?? 22229 1 8 3 9 1 8 33 (1 3 ) 3 (1 3 )PQ k k k kxx kk? ? ? ?? ? ??? ＝2363(1 3 )kk?? 13PQPQPQyyk xx?? ? ?? 則直線 PQ 的斜率為定值 13 。 方法總結 ： 本題第二問中，由“直線 PC 與直線 QC 關于直線 3x? 對稱”得兩直線的斜率互為相反數，設直線 PC的斜率為 k，就得直線 QC的斜率為 k。 利用 3 是方程 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?的根， 易得 點 P的橫坐標： 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? ， 再 將其中的 k用 k換下來，就得到了點 Q的橫坐標： 溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 16 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? ，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。 接下來，如果分別利用直線 PC、 QC的方程 通過坐標變換法 將點 P、 Q的縱坐標也求出來，計算量 會增加許多 。 直接計算 PQyy? 、 PQxx? ，就 降低了計算量。總之，本題有兩處是需要同學們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標 是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。 練習 已知橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 32 ，且在 x 軸上的頂點分別為A1(2,0),A2(2,0)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點 T,點 P 為直線 l 上異于點 T 的任一點，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論。 解：（ I）由已知橢圓 C 的離心率 32ce a?? ， 2a? ,則得 3, 1cb??。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，由 122( 2)14y k xx y????? ????消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程 的兩個根 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點 M 的坐標為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk??? 溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 17 同理，設直線 A2N 的斜率為 k2，則得點 N 的坐標為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點 M、 N 的坐標代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦點為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當 433t? 時， MN 過橢圓的焦點。 方法總結 ： 本題由點 A1(2,0)的橫坐標－ 2是 方程 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?的一個根， 結合 韋達定理得 到 點 M的橫坐標： 211 212814kx k?? ?，利用直線 A1M的方程 通過坐標變換 ，得 點 M的縱坐標 ： 11 21414ky k? ?； 再將 211 2116 42 14kx k????中的 12kk用 換下來， 1x 前的系數 2 用－ 2 換下來，就得點 N 的坐標222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk????，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少許多，并且也不易出錯，溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 18 在這里減少計算量是本題的重 點 。否則，大家很容易陷入繁雜的運算中，并且算錯，費時耗精力，希望同學們認真體 會其中的精髓。 本題的關鍵是看到點 P 的雙重身份：點 P 即在直線 1AM 上也在直線 A2N 上，進而得到12122kkk k t? ??? ，由直線 MN 的方程 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? 得直線與 x 軸的交點，即橫截距2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點 M、 N的坐標代入，化簡易得 4x t? ，由 4 3t ? 解出 433t? ，到此不要忘了考察 433t? 是 否滿足 2t? 。 練習 ： （ 2022遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過點 A（ 1， 32 ），兩個焦點為（－ 1， 0）（ 1，0）。 （ 1） 求橢圓 C的方程； （ 2） E,F 是橢圓 C 上的兩個動點，如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值。 分析： 第一問中，知道焦點，則 ，再根據過 點 A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。 第二問中，設出直線 AE 的斜率 k，寫出直線的方程，聯 立方程組，轉化成一元二次方程，由韋達定理和點 A 的坐標，可以求出點 E 的坐標 ,將點 E 中的 k,用 k 換下來，就可以得到點 F的坐標，通過計算 yEyF， xExF，就可以求出直線 EF的斜率了 解：（Ⅰ）由題意， c=1,可設橢圓方程 為 ，將點 A的坐標代入方 程： ，解得 ， （舍去） 所以橢圓方程為 。 （Ⅱ）設直線 AE 方程為： 3( 1) 2y k x? ? ? ，代入 22143xy??得 2 2 23( 3 4 ) 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ? 設 (x ,y )EEE , (x ,y )FFF ,因為點 3(1, )2A 在橢圓上，所以 221ab??22,ab2211xyaa???2219 14( 1)aa???2 4a? 221 14ac? ? ?22143xy??溫新堂個性化一對一教學 一切為了孩子 溫新堂教育 19 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ……… 8 分 又直線 AF 的斜率與 AE 的斜率互為相反數，在上式中以 — K 代 K，可得 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ? 所以直線 EF 的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kK x x x x? ? ? ?? ? ??? 即直線 EF 的斜率為定值，其值為 12 。 …… 12 分 老師總結： 此類題的關鍵就是定點在曲線上，定點的坐標是方程的根，通過韋達定理，將動點的坐標求出，在根據斜率互為相反數，就可以直接求出第二動點的坐標，最后由斜率公式，可以求出斜率為定值。 題型五： 共線向量 問題 解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉化為同類坐標的比例問題，再通過未達定理 同類坐標變換，將問題解決。此類問題不難解決。 例題 設過點 D(0,3)的直線交曲線 M： 22194xy??于 P、 Q 兩點，且 DP DQl=uuur uuur ,求實數 l的取值范圍。 分析 ： 由 DP DQl=uuur uuur 可以得到123 ( 3)xxyyl l236。239。 =239。237。239。 = + 239。238。，將 P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點的坐標，用 l 表示出來。 解： 設 P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DP DQl=uuur uuur \ (x