【文章內(nèi)容簡介】 1 2( ) ( ) ( )y y k x m k x m k x x m k x x m? ? ? ? ? ? ? ? ?，將條件轉(zhuǎn)化為 221 2 1 2( 1 ) ( ) 0k x x m k x x m? ? ? ? ?，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計算判別式后，可以得到 12xx ， 12xx? ，解出 k、 m 的等式，就可以了。 解：設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，由2 2y kx my px???? ?? 得， 2 2 2 0ky py mp? ? ?，（這里消 x 得到的） 則 24 8 0p m kp? ? ? ???????（ 1） 由韋達定理，得：1 2 1 222p m py y y ykk? ? ?， 則 21 2 1 2 1 212 2()y m y m y y m y y mxx k k k? ? ? ? ???， 以 AB 為直徑的圓過拋物線的頂點 O，則 OA? OB，即 1 2 1 2 0x x y y??， 可得 21 2 1 2122() 0y y m y y m yyk? ? ? ??，則 22(1 ) 2 2 0k mp pm m k? ? ? ?， 即 2220k mp m k??，又 0mk? ，則 2m kp?? ，且使（ 1）成立， 此時 2 ( 2 )l y k x m k x k p k x p? ? ? ? ? ?： ，直線恒過點 (2 ,0)p 。 名師指點： 這個題是課本上的很經(jīng)典的題， 例題 （ 07 山東理）就是在這個題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取 140 多分，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時，要消去一次項，計算量小一些，也運用了同類坐標(biāo)變換 —— 韋達定理，同點縱、橫坐標(biāo)變換 直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實解析幾何就這么點知識， 你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 題型四： 過 已知曲線上 定點的弦的 問題 若直線過的定點在已知曲線上，則過定點的直線的方程和曲線聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程（或類一元二次方程），考察判斷式后，韋達定理結(jié)合定點的坐標(biāo)就可以求出另一端點的坐溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 14 標(biāo)，進而解決問題。下面我們就通過例題領(lǐng)略一下思維過程。 例題 已知點 A、 B、 C 是橢圓 E： 221xyab?? ( 0)ab?? 上的三點，其中點 A(2 3,0)是橢圓的右頂點，直線 BC 過橢圓的 中心 O，且 0AC BC? ， 2BC AC? ，如圖。 (I)求點 C 的坐標(biāo)及橢圓 E 的方程； (II)若橢圓 E 上存在兩點 P、 Q，使得直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱，求直線 PQ的斜率。 解： (I) 2BC AC? ，且 BC 過橢圓的中心 O OC AC?? 0AC BC ? 2ACO ??? ? 又 A (2 3,0) ?點 C 的坐標(biāo)為 ( 3, 3) 。 A(2 3,0) 是橢圓的右頂點， 23a?? ，則橢圓方程為： 222 112xyb?? 將點 C( 3, 3) 代入方程，得 2 4b? ， ?橢圓 E 的方程為 22112 4xy?? (II) 直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱， 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 15 ?設(shè)直線 PC 的斜率為 k ，則直線 QC 的斜率為 k? ，從而直線 PC 的方程為： 3 ( 3 )y k x? ? ?，即 3 (1 )y kx k? ? ?， 由223 (1 )3 12 0y kx kxy? ? ? ??? ? ? ???消 y，整理得： 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?3x? 是方程的一個根， 229 1 8 33 13P kkx k???? ? 即 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? 同理可得： 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? 3 ( 1 ) 3 ( 1 )P Q P Qy y k x k k x k? ? ? ? ? ? ?＝ ( ) 2 3PQk x x k?? ＝2123(1 3 )kk?? 22229 1 8 3 9 1 8 33 (1 3 ) 3 (1 3 )PQ k k k kxx kk? ? ? ?? ? ??? ＝2363(1 3 )kk?? 13PQPQPQyyk xx?? ? ?? 則直線 PQ 的斜率為定值 13 。 方法總結(jié) ： 本題第二問中，由“直線 PC 與直線 QC 關(guān)于直線 3x? 對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線 PC的斜率為 k，就得直線 QC的斜率為 k。 利用 3 是方程 2 2 2( 1 3 ) 6 3 ( 1 ) 9 1 8 3 0k x k k x k k? ? ? ? ? ? ?的根， 易得 點 P的橫坐標(biāo)： 229 18 33 (1 3 )P kkx k??? ? ， 再 將其中的 k用 k換下來，就得到了點 Q的橫坐標(biāo)： 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 16 229 18 33 (1 3 )Q kkx k??? ? ，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。 接下來，如果分別利用直線 PC、 QC的方程 通過坐標(biāo)變換法 將點 P、 Q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量 會增加許多 。 直接計算 PQyy? 、 PQxx? ，就 降低了計算量?？傊?，本題有兩處是需要同學(xué)們好好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標(biāo) 是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。 練習(xí) 已知橢圓 C： 22 1( 0 )xy abab? ? ? ?的離心率為 32 ，且在 x 軸上的頂點分別為A1(2,0),A2(2,0)。 （ I）求橢圓的方程； （ II）若直線 : ( 2)l x t t??與 x 軸交于點 T,點 P 為直線 l 上異于點 T 的任一點，直線 PA1,PA2分別與橢圓交于 M、 N 點，試問直線 MN 是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 解：（ I）由已知橢圓 C 的離心率 32ce a?? ， 2a? ,則得 3, 1cb??。 從而橢圓的方程為 2 2 14x y?? （ II）設(shè) 11( , )M x y ， 22( , )N x y ，直線 1AM 的斜率為 1k ,則直線 1AM 的方程為 1( 2)y k x??，由 122( 2)14y k xx y????? ????消 y 整理得 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ? 12 x?和 是方程 的兩個根 211 2116 42 14kx k??? ? ? 則 211 212814kx k?? ?， 11 21414ky k? ?， 即點 M 的坐標(biāo)為 211222 8 4( , )1 4 1 4kk??? 溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 17 同理，設(shè)直線 A2N 的斜率為 k2，則得點 N 的坐標(biāo)為 222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk???? 12( 2) , ( 2)ppy k t y k t? ? ? ? 12122kkk k t?? ??? ， 直線 MN 的方程為： 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? ， ?令 y=0，得 2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點 M、 N 的坐標(biāo)代入，化簡后得： 4x t? 又 2t? ， ? 402t?? 橢圓的焦點為 ( 3,0) 4 3t?? ，即 433t? 故當(dāng) 433t? 時， MN 過橢圓的焦點。 方法總結(jié) ： 本題由點 A1(2,0)的橫坐標(biāo)－ 2是 方程 2 2 21 2 1(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k? ? ? ? ?的一個根， 結(jié)合 韋達定理得 到 點 M的橫坐標(biāo)： 211 212814kx k?? ?，利用直線 A1M的方程 通過坐標(biāo)變換 ，得 點 M的縱坐標(biāo) ： 11 21414ky k? ?； 再將 211 2116 42 14kx k????中的 12kk用 換下來， 1x 前的系數(shù) 2 用－ 2 換下來，就得點 N 的坐標(biāo)222228 2 4( , )1 4 1 4kkkk????，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少許多，并且也不易出錯，溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 18 在這里減少計算量是本題的重 點 。否則，大家很容易陷入繁雜的運算中，并且算錯，費時耗精力，希望同學(xué)們認(rèn)真體 會其中的精髓。 本題的關(guān)鍵是看到點 P 的雙重身份：點 P 即在直線 1AM 上也在直線 A2N 上，進而得到12122kkk k t? ??? ，由直線 MN 的方程 1 2 11 2 1y y y yx x x x??? 得直線與 x 軸的交點，即橫截距2 1 1 212x y x yx yy?? ? ，將點 M、 N的坐標(biāo)代入，化簡易得 4x t? ，由 4 3t ? 解出 433t? ，到此不要忘了考察 433t? 是 否滿足 2t? 。 練習(xí) ： （ 2022遼寧卷文 、理 ） 已知，橢圓 C以過點 A（ 1， 32 ），兩個焦點為（－ 1， 0）（ 1，0）。 （ 1） 求橢圓 C的方程； （ 2） E,F 是橢圓 C 上的兩個動點，如果直線 AE 的斜率與 AF 的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值。 分析： 第一問中，知道焦點，則 ，再根據(jù)過 點 A，通過解方程組，就可以求出 ，求出方程。 第二問中，設(shè)出直線 AE 的斜率 k，寫出直線的方程，聯(lián) 立方程組，轉(zhuǎn)化成一元二次方程，由韋達定理和點 A 的坐標(biāo)，可以求出點 E 的坐標(biāo) ,將點 E 中的 k,用 k 換下來，就可以得到點 F的坐標(biāo)，通過計算 yEyF， xExF，就可以求出直線 EF的斜率了 解：（Ⅰ）由題意， c=1,可設(shè)橢圓方程 為 ，將點 A的坐標(biāo)代入方 程： ，解得 ， （舍去） 所以橢圓方程為 。 （Ⅱ）設(shè)直線 AE 方程為： 3( 1) 2y k x? ? ? ，代入 22143xy??得 2 2 23( 3 4 ) 4 ( 3 2 ) 4 ( ) 1 2 02k x k k x k? ? ? ? ? ? ? 設(shè) (x ,y )EEE , (x ,y )FFF ,因為點 3(1, )2A 在橢圓上，所以 221ab??22,ab2211xyaa???2219 14( 1)aa???2 4a? 221 14ac? ? ?22143xy??溫新堂個性化一對一教學(xué) 一切為了孩子 溫新堂教育 19 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ……… 8 分 又直線 AF 的斜率與 AE 的斜率互為相反數(shù)，在上式中以 — K 代 K，可得 2234 ( ) 1 22x 34F k k??? ? 32EEy kx k? ? ? ? 所以直線 EF 的斜率 ( ) 2 12F E F EEF F E F Ey y k x x kK x x x x? ? ? ?? ? ??? 即直線 EF 的斜率為定值，其值為 12 。 …… 12 分 老師總結(jié)： 此類題的關(guān)鍵就是定點在曲線上，定點的坐標(biāo)是方程的根，通過韋達定理，將動點的坐標(biāo)求出，在根據(jù)斜率互為相反數(shù)，就可以直接求出第二動點的坐標(biāo)，最后由斜率公式，可以求出斜率為定值。 題型五： 共線向量 問題 解析幾何中的向量共線，就是將向量問題轉(zhuǎn)化為同類坐標(biāo)的比例問題，再通過未達定理 同類坐標(biāo)變換，將問題解決。此類問題不難解決。 例題 設(shè)過點 D(0,3)的直線交曲線 M： 22194xy??于 P、 Q 兩點，且 DP DQl=uuur uuur ,求實數(shù) l的取值范圍。 分析 ： 由 DP DQl=uuur uuur 可以得到123 ( 3)xxyyl l236。239。 =239。237。239。 = + 239。238。，將 P(x1,y1),Q(x2,y2),代人曲線方程，解出點的坐標(biāo)，用 l 表示出來。 解： 設(shè) P(x1,y1),Q(x2,y2), Q DP DQl=uuur uuur \ (x