【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 果又構(gòu)成一個(gè)彩票時(shí)，稱為 復(fù)合彩票 。比如，有兩個(gè)彩票 , 則 簡(jiǎn)單彩票與復(fù)合彩票的關(guān)系為： 就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合彩票 ? ?1 2 1 1 2 2 |( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) , .. . ( 1 )nnp q p q p q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?LL復(fù)合彩票概念： 55 ? 一般情況的 復(fù)合（復(fù)雜）彩票 （ pound lottery），其抽獎(jiǎng)結(jié)果是眾多的簡(jiǎn)單彩票。復(fù)合彩票記為： 111( , , 。 , ) , ( ) 0 , 1nK K i i K iiLL? ? ? ?????≥其中， 是一個(gè)簡(jiǎn)單彩票。對(duì)于每 一個(gè)復(fù)合彩票，我們可以計(jì)算出它與簡(jiǎn)單彩票的關(guān)系： 1( , , ) ,kkKNL p p k K??11 ,Ki i K ip p p i N??? ? ? ?56 ? 所有類似的彩票商，就構(gòu)成了不確定情況下的商品空間，我們記彩票空間為 ? 不同的彩票之間也應(yīng)當(dāng)存在著與普通商品之間類似的偏好順序和關(guān)系。 B57 公理 1 ? 二元關(guān)系 是一個(gè)定義在 上的偏好關(guān)系，滿足： 自返性 傳遞性 完備性 B58 公理 2 （獨(dú)立性公理或替代公理，Independent or Substitute Axiom） ? 含義 :引入一個(gè)額外的不確定性的消費(fèi)計(jì)劃不會(huì)改變?cè)械钠谩? 1 2 1 212BB( 1 ) ( 1 )?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?對(duì) 于 ， ， ， （ 0 ， 1 ） ， 則 對(duì) 于 ， 有L L L L LL L L L59 ? 獨(dú)立性公理假設(shè)是不確定環(huán)境下決策理論的核心，它提供了把不確定性嵌入決策模型的基本結(jié)構(gòu)。 ? 通過獨(dú)立性假設(shè)，消費(fèi)者希望把復(fù)雜的概率決策行為分為相同和不同的兩個(gè)獨(dú)立部分，整個(gè)決策行為僅由其中不同的部分來決定。 60 公理 3 （阿基米德公理， Archimedean Axion） ? 含義 :沒有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 L1好到使得對(duì)任意滿足 L2L3的消費(fèi)計(jì)劃 L2,L3 ，無論概率 β多么小，復(fù)合彩票 ? βＬ 1+(1β)L3不會(huì)比 L2差。 ? 同樣，沒有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 L3， 差到使得對(duì)任意滿足L1L2的消費(fèi)計(jì)劃 L1,L2,，無論概率 α 多么大，復(fù)合彩票α L1+(1α )L3不會(huì)比 L2好。即 不存在無限好或無限差的消費(fèi)計(jì)劃 。 (數(shù)學(xué)上有類似的阿基米德公理 ) 1 2 31 3 2 2 3B( 1 ) ( 1 )??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?對(duì) 于 ， ， （ 0 ， 1 ） ， 使 得L L LL L L L L61 公理 3 （阿基米德公理， Archimedean Axion） ? 含義 :沒有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 L1好到使得對(duì)任意滿足L2L3的消費(fèi)計(jì)劃 L2,L3 ，無論概率 b多么小，復(fù)合彩票 bp+(1b)r不會(huì)比 q差。 ? 同樣，沒有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 r， 差到使得對(duì)任意滿足pq的消費(fèi)計(jì)劃 p,q，無論概率 a多么大，復(fù)合彩票ap+(1a)r不會(huì)比 q好。即 不存在無限好或無限差的消費(fèi)計(jì)劃 。 (數(shù)學(xué)上有類似的阿基米德公理 ) B62 數(shù)學(xué)中的阿基米德法則 ? 不管一個(gè)數(shù)字 a多么的小，另外一個(gè)數(shù)字 b多么的大，總存在一個(gè)整數(shù) k，使得 kab 63 期望效用表述（ expected utility representing) 對(duì)一件彩票的期望效用表示為對(duì)抽獎(jiǎng)結(jié)果的效用函 數(shù)的數(shù)學(xué)期望 : 其中， 是 VNM 效用函數(shù) 。 更一般地，我們可以表述為： 1U ( ) ( x )NiiiL p V?? ?: B : BV R R??是 普 通 序 數(shù) 效 用 函 數(shù) ， 而 U64 其中， 是一個(gè)隨機(jī)變量。其含義為：不確定狀態(tài)下的消費(fèi)得到的效用是每一可能狀態(tài)下消費(fèi)路徑得到的效用的加權(quán)平均值，權(quán)重是相應(yīng)狀態(tài)發(fā)生的概率。 1( ) [ ( ) ] ( )NiiiU x E V x p V x??? ?()Vx65 ? 如果抽獎(jiǎng)結(jié)果是無限的，附加一些不太重要的技術(shù)性條件，我們就有期望效用函數(shù)的連續(xù)形式： ? 其中， 為分布函數(shù)。 BU ( ) ( ) ( )dF?? ?Ｖ ｘ ｘ()Fｘ66 期望效用函數(shù)的公理化陳述 ? 定理 定義在 上的偏好關(guān)系，若它滿足公理１，２，３，則該偏好關(guān)系可以 用 von Neumann and Mensern期望效用函數(shù)表示，并且期望效用函數(shù)是唯一的。 B67 ? 一個(gè)定義在 上的二元關(guān)系 ，當(dāng)且僅當(dāng)它滿足上面的三個(gè)公理時(shí)才存在著期望效用表示： 11( ) ( )i i i iiiL L p p????????ｎ ｎＶ ｘ Ｖ ｘB68 ? 在一些附加簡(jiǎn)化假設(shè)下，如狀態(tài)獨(dú)立和時(shí)間可加性假設(shè)，期望效用函數(shù)的形式可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化： 001( ) ( ) ( )NiiiU c p??? ?ｘ Ｖ Ｖ ｘ69 四、期望效用準(zhǔn)則矛盾 ? 反對(duì)期望效用準(zhǔn)則的最有趣和最相關(guān)的論證，通常包括幾個(gè)這樣的特例： 受試者經(jīng)過深思熟慮之后，反而會(huì)選擇不符合該準(zhǔn)則的行動(dòng)方案 。這種情況簡(jiǎn)單合理，人們的選擇相當(dāng)明確，因而選擇與準(zhǔn)則之間的矛盾似乎不可避免。我們的結(jié)論只能是， 或者期望效用準(zhǔn)則不是理性行為，或者人們有一種非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的時(shí)候 。 70 “ Allais 悖論 ” (1953) ? 期望效用函數(shù)似乎是相當(dāng)人為、相當(dāng)主觀的概念。一開始就受到許多批評(píng)。其中最著名的是“ Allais 悖論” (1953)。 ? 由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。但都不很成功。 ? （法） Maurice Allais (1911) 1986 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者。 71 ? 兩個(gè)非常有趣的例子 投資者可能偏好一個(gè)不符合期望效用準(zhǔn)則的方案。在每個(gè)例子中， “ 錯(cuò)誤 ” 方案都有一個(gè)似是而非的外表，并被許多受試者選中。 72 ? 例 3種彩票：彩票 A贏得 1000美元的機(jī)會(huì)是 1/1000；彩票 B贏得100美元的機(jī)會(huì)是 1/100；彩票 C贏得 1000的機(jī)會(huì)是 1/2022，贏得 100美元的機(jī)會(huì)是1/200。 ? 你會(huì)選擇哪一種彩票？ A,B,or C? 73 ? 要求受試者在方案 A,B,C之間進(jìn)行選擇 ， 他們經(jīng)常會(huì)表示出對(duì) C的明確偏好 。 ? 對(duì)那些顯示偏好 C的受試者 ， 我們可以繼續(xù)提問 ， 問他們?cè)?A和 B之間是否更偏好 A或者相反 。 爭(zhēng)論仍然存在 。 74 ? 為具體起見，我們假定 A偏好 B。我們?cè)賮碓儐査欠裨敢庖_定性的 A或者要得到 A或 B的機(jī)會(huì)各半的方案。換言之，我們是直接選中 A還是通過拋硬幣來決定選 A或 B? ? 實(shí)驗(yàn)證明，那些表示 A偏好 B的投資者一致認(rèn)為，他們?cè)敢膺x擇 A，而不是 A或 B的機(jī)會(huì)各半。 75 ? 不難發(fā)現(xiàn)，拋硬幣選擇 A或 B的結(jié)果的概率分布于彩票 C的分布完全相同。因此我們可以將投資者的偏好概括如下： C偏好 A； A偏好 A或B各 50%；但是 A和 B各 50%又恰好與 C一樣好。因此 C明確偏好 A, A明確偏好 C—矛盾 。 76 ? 例 2阿萊悖論 ?方案 A：確定得到 100萬 美元； ?方案 B: 得到 500萬美元的概率是 得到 100萬美元的概率是 得到 0美元的概率是 77 ? 他發(fā)現(xiàn)，在 A和 B中，他的受試者偏好于 A。于是，他進(jìn)一步要求受試者考慮一下情形： ?方案 C：以 100萬美元 以 0美元 ?方案 D: 以 500萬美元 以 0美元 實(shí)驗(yàn) 結(jié)果 ：絕大多數(shù)人 選擇 D而非 C ? 當(dāng) A和 B作為備選方案時(shí)選 A，當(dāng) C和 D作為備選方案時(shí)選 Ｄ ，就違背了期望效用原則。 78 賭局 A的期望值（ 100萬元）雖然小于賭局 B的期望值（ 139萬元）， 但是 A的效用值大于 B的效用值， 即 (1m) (1m) + (0) + (5m)【 1】 賭局 C的期望值（ 11萬元）小于賭局 D的期望值（ 50萬元）， 而且 C的效用值也小于 D的效用值， 即 (0) + (1m) (0)+ (5m)【 2】 而由 【 2】 式得 (1m) (0) + (5m) (1m) (1m) (0) + (5m) (1m) (1m) + (0) + (5m)【 ３ 】 【 ３ 】 與 【 1】 式矛盾，即 阿萊 悖論 。 79 阿萊 悖論 的另一種表述是：按照期望效用理論， 風(fēng)險(xiǎn) 厭惡者應(yīng)該 選擇 A和 C；而風(fēng)險(xiǎn)喜好者應(yīng)該選擇 B和 D。 然而 實(shí)驗(yàn) 中的大多數(shù)人 選擇 A和 D。 80 ? 顯然，期望效用理論受到了“阿萊悖論”的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。“阿萊悖論”實(shí)質(zhì)上是要解釋，許多建立在獨(dú)立性假設(shè)上的期望效用，尤其是建立在追求期望效用最大化基石上的模型，都忽略的人的心理因素對(duì)概率分布的影響。因此，在“阿萊悖論”提出后，許多學(xué)者包括經(jīng)濟(jì)學(xué)家和心理學(xué)家均嘗試著對(duì)不確定性下的選擇行為進(jìn)行進(jìn)一步探索，力圖揭示其中的心理因素與心理機(jī)制。 81 總結(jié) 1. 本節(jié)為在不確定條件下進(jìn)行選擇提出了基礎(chǔ)性的理論框架 。 2. 本節(jié)還討論了期望效用準(zhǔn)則 ， 偏好關(guān)系的效用函數(shù)表示 ， 以及期望效用函數(shù)存在的條件 ， 并給出了幾個(gè)期望效用準(zhǔn)則的反例 。 82 第 3節(jié) 投資者的風(fēng)險(xiǎn)類型及風(fēng)險(xiǎn)度量 ? 投資者的風(fēng)