【正文】 ? ?因?yàn)?由性質(zhì) 1 xy必有 。2( ) 1 , ( ) ( 0 , 1 ) ,U x U y ?? ? ?若? ?* * * *221 1 1 ( 1 ) ,x x y y x y??? ? ? ?此時(shí) ～ ，2 1,? ?由于 由保序性 ， xy。28 ) ( ) 。26 ) ( ) 。 =此時(shí)定理顯然成立 。24 序數(shù)效用函數(shù)存在定理證明 由性質(zhì) 3， **,x y B?存在 xB使對(duì)任意 206。 21 基數(shù)效用： 19 世紀(jì)的一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家如英國(guó)的杰文斯、奧地利的門格爾等認(rèn)為，人的福利或滿意可以用他從享用或消費(fèi)過(guò)程中所獲得的效用來(lái)度量。 ? 效用函數(shù)是一個(gè)連續(xù)的實(shí)函數(shù)。16 2. 偏好關(guān)系的三條重要性質(zhì) 性質(zhì) 1（序保持性） , , , , [ 0 , 1 ]x y B x y ????對(duì)任意 及[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ]x y x y? ? ? ?? ? ? ????當(dāng)且僅當(dāng)17 性質(zhì) 2（中值性） , , ,x y z B?對(duì)任意 ,x y z如果? ?那么存在惟一的 （0， 1）( 1 ) ~x z y????使 。 自返性 保證了消費(fèi)者對(duì)同一商品的偏好具有明顯的一 貫性； 可比較性 假定保證了消費(fèi)者具備選別判斷的能力； 傳遞性 保證了消費(fèi)者在不同商品之間選擇的首尾一貫性。x y B x y y x?（ ）（可比較性）若 則 或者3 , , , , ,x y z B x y y z x z?（）（傳遞性）若 如果 則 。 11 令Ｂ 為商品（或者消費(fèi)）集合， B 中有 n 種可供選 擇的商品。 槽頭扣了騾和馬，嘆無(wú)官職被人欺。 10 偏好雜談（ 2） 終日奔波只為饑，方才一飽便思衣。 ? 偏好 是 微觀經(jīng)濟(jì)學(xué) 價(jià)值理論中的一個(gè)基礎(chǔ)概念。 偏好是建立在消費(fèi)者可以觀察的選擇行為之上的。 7 在 18世紀(jì)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家眼中，效用和黃油、大炮一樣是看得見、摸得著的，他們把效用視為快樂的代名詞，看做是一個(gè)人的整個(gè)福利的指數(shù)。同時(shí)我們也研究這種個(gè)體的投資行為的匯總是否會(huì)產(chǎn)生市場(chǎng)均衡和相應(yīng)的均衡價(jià)格體系。 4 個(gè)人生存過(guò)程中，必須反復(fù)面對(duì)以下 3 個(gè)選擇問題： （ 1）選擇消費(fèi)品種類和數(shù)量，在現(xiàn)有消費(fèi)基金預(yù)算約束下，當(dāng)期效用（ utility）最大化； （ 2）選擇積累的財(cái)富在消費(fèi)基金和投資基金之間進(jìn)行分割的比例； （ 3）選擇投資品種類和數(shù)量，在現(xiàn)有投資基金預(yù)算約束下，未來(lái)（期望）效用最大化。1 金融數(shù)學(xué)引論 第 1章 期望效用函數(shù)理論 2 第 1章 期望效用函數(shù)理論 本章內(nèi)容概覽 3 引言 ? 理性個(gè)人的決策行為幾乎是所有微觀經(jīng)濟(jì)分析的起點(diǎn)。不斷進(jìn)行選擇的總過(guò)程的目的就在于：個(gè)人終生效用極大化。 6 第 1節(jié) 確定性條件下的偏好與效用 ? 日常生活中，我們時(shí)常要比較不同商品或者服務(wù)給我們生理、心理上帶來(lái)的感受或者說(shuō)效用（ utility）。 但是，古典經(jīng)濟(jì)學(xué)家實(shí)際上從來(lái)沒有闡述過(guò)如何去度量效用；以及除了人們要實(shí)現(xiàn)效用最大化外，效用的概念是否還有別的獨(dú)立意義。 偏好關(guān)系（ preference relation)是指消費(fèi)者對(duì)不同商品或商品組合偏好的順序。偏好是主觀的，也是相對(duì)的概念。 衣食兩般皆俱足，又想嬌容美貌妻。 縣丞主簿還嫌小，又要朝中掛紫衣。它是 n 維實(shí)數(shù)空間 中的一個(gè)非負(fù)子集，它 總是被假定為閉集和凸集。13 , , ,x y B x y?注：若 x y x y則認(rèn)為 比 好，或者 不比 差。 14 ? 通常認(rèn)為這三條并沒有給消費(fèi)者施加過(guò)分嚴(yán)格的限制條件，只要是消費(fèi)者是理性的都可以做到這一點(diǎn) 。18 性質(zhì) 3（有界性） **,x y B?存在 ,zB?使對(duì)任意**x z y有。 ? 效用函數(shù)可以說(shuō)是唯一的，除了對(duì)它作嚴(yán)格正的仿射變換。對(duì)滿意程度的這種度量叫做基數(shù)效用 . 22 序數(shù)效用： 20 世紀(jì)意大利的經(jīng)濟(jì)學(xué)家帕累托 等發(fā)現(xiàn)，效用的基數(shù)性是多余的，消費(fèi)理論完全 可以建立在序數(shù)效用的基礎(chǔ)上。**x x y有。 **xy若， xB對(duì)任意的 ， 206。x y U x U y?（1 ）證明 當(dāng)且僅當(dāng) （必要性 xy設(shè)**x x y y如果 ～ ， ( ) 1Ux ?此時(shí) ，**x y y由于 ， ? ?0 , 1? ?則存在唯一? ?**1y x y????使 ～ ， ( ) 1 ,Uy ???按定義( ) ( )U x U y?所以 。x y U x U y?（1 ）證明 當(dāng)且僅當(dāng) （**x x y y如果 ，12??則存在 ， ，使? ?**111x y x???? ～， 1()Ux ??按定義 ，? ?**221x y y???? ～， 2()Uy ??按定義 ，由性質(zhì) 1（ 序保持性 ） ， xy由于 ，12 ,???必有( ) ( )U x U y?故。( ) 1 ( ) 0U x U y??若 ， 時(shí)， **x x y按定義 ～ ～y ，xy故。31 必要性 2 ~ ( ) ( )x y U x U y?（ ） 證 明 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 。? ?()U x U y?若， xy而 不成立，x y y x此時(shí)有兩種可能： ，或者 。注 3 B設(shè) 是具有偏好關(guān)系的有限集，:U B R?則存在效用函數(shù) 使得( 1 ) ( ) ( )x y U x U y?當(dāng)且僅當(dāng) ( 2 ) ~ ( ) ( )x y U x U y?當(dāng) 且 僅 當(dāng)B當(dāng) 只有兩個(gè)元素時(shí)，結(jié)論顯然成立。 38 經(jīng)濟(jì)分析中的不確定性是與風(fēng)險(xiǎn)相聯(lián)系的。Knight） 。 40 不確定性下理性決策的兩種原則 ? 數(shù)學(xué)期望最大化原則 ? 期望效用最大原則 41 數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各 種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動(dòng)方案優(yōu)劣 。 指出： 人們?cè)谕顿Y決策時(shí)不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來(lái)作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來(lái)行動(dòng)的 。問：游戲的參加應(yīng)先付多 少錢，才能使這場(chǎng)賭博是“公平”的？ 12n?44 該游戲的數(shù)學(xué)期望值： 但實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意 支付的成本（門票）僅為 23元。而道德期 望并不與得利多少成正比，而與初始財(cái)富有關(guān)。 11( . ) l o g 2 1 . 3 92nnnE ????????＞ 047 另外， Crammer（ 1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對(duì)這一問題進(jìn)行了分析。 2{ [ ( ) ] } 4x E u x??49 期望效用函數(shù) ? 期望效用函數(shù)理論是 20世紀(jì) 50年代，馮 50 （上） John von Neumann (19031957) （下） Oskar Menstern (19021977) ? 1944 年在巨著 《 對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為 》 中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。 ? 第一步的任務(wù)是要明確：什么是在不確定情況下，我們要討論的“商品”和“商品空間。xP設(shè)想消費(fèi)者參加一次抽獎(jiǎng)（ lottery），所有可能產(chǎn)生 如， A為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的概率為 P， C為不中獎(jiǎng)， L=(P,A,C)描述了一種彩票情況 54 ),。比如，有兩個(gè)彩票 , 則 簡(jiǎn)單彩票與復(fù)合彩票的關(guān)系為： 就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合彩票 ? ?1 2 1 1 2 2 |( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) , .. . ( 1 )nnp q p q p q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?LL復(fù)合彩票概念： 55 ? 一般情況的 復(fù)合（復(fù)雜）彩票 （ pound lottery），其抽獎(jiǎng)結(jié)果是眾多的簡(jiǎn)單彩票。 B57 公理 1 ? 二元關(guān)系 是一個(gè)定義在 上的偏好關(guān)系，滿足： 自返性 傳遞性 完備性 B58 公理 2 （獨(dú)立性公理或替代公理，Independent or Substitute Axiom） ? 含義 :引入一個(gè)額外的不確定性的消費(fèi)計(jì)劃不會(huì)改變?cè)械钠谩? ? 同樣，沒有哪一個(gè)消費(fèi)計(jì)劃 L3， 差到使得對(duì)任意滿足L1L2的消費(fèi)計(jì)劃 L1,L2,，無(wú)論概率 α 多么大，復(fù)合彩票α L1+(1α )L3不會(huì)比 L2好。即 不存在無(wú)限好或無(wú)限差的消費(fèi)計(jì)劃 。 1( ) [ ( ) ] ( )NiiiU x E V x p V x??? ?()Vx65 ? 如果抽獎(jiǎng)結(jié)果是無(wú)限的，附加一些不太重要的技術(shù)性條件，我們就有期望效用函數(shù)的連續(xù)形式： ? 其中， 為分布函數(shù)。我們的結(jié)論只能是， 或者期望效用準(zhǔn)則不是理性行為，或者人們有一種非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的時(shí)候 。 ? 由此引起許多非期望效用函數(shù)的研究，涉及許多古怪的數(shù)學(xué)。在每個(gè)例子中， “ 錯(cuò)誤 ” 方案都有一個(gè)似是而非的外表，并被許多受試者選中。 爭(zhēng)論仍然存在 。 75 ? 不難發(fā)現(xiàn)，拋硬幣選擇 A或 B的結(jié)果的概率分布于彩票 C的分布完全相同。于是，他進(jìn)一步要求受試者考慮一下情形： ?方案 C：以 100萬(wàn)美元 以 0美元 ?方案 D: 以 500萬(wàn)美元 以 0美元 實(shí)驗(yàn) 結(jié)果 ：絕大多數(shù)人 選擇 D而非 C ? 當(dāng) A和 B作為備選方案時(shí)選 A，當(dāng) C和 D作為備選方案時(shí)選 Ｄ ，就違背了期望效用原則。 80 ? 顯然，期望效用理論受到了“阿萊悖論”的嚴(yán)峻挑戰(zhàn)。 2. 本節(jié)還討論了期望效用準(zhǔn)則 ， 偏好關(guān)系的效用函數(shù)表示 ， 以及期望效用函數(shù)存在的條件 ， 并給出了幾個(gè)期望效用準(zhǔn)則的反例 。定義：如果 二次連續(xù)可為微V (x) 0, V (x) 0,則V (E ) E(V ( )), 稱投資者為風(fēng)險(xiǎn)愛好型。89 00 ( , ) ( )hE? ? ? ?? ? ? ?稱：或者 為確定性等價(jià)財(cái)富。對(duì)于小的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)說(shuō)，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡是投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡傾向的一種度量。所以，一定有絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡 ，