【正文】 , 1 ) ,U x U y ?? ? ?若? ?* * * *221 1 1 ( 1 ) ,x x y y x y??? ? ? ?此時 ～ ，2 1,? ?由于 由保序性 ， xy。( ) 1 ( ) 0U x U y??若 ， 時， **x x y按定義 ～ ～y ，xy故。30 ) ( ) 。x y U x U y?（1 ）證明 當(dāng)且僅當(dāng) （充分性 1( ) 0 1 ( ) 0 ,U x U y?? ? ?若 （ ，），此時 ? ?* * *0 1 0 ,y y x y? ? ?～ ? ?**111x x y????～1 0,? ?由于 xy故。1 ( ) ( ) 0 ,U x U y? ? ?若 12 ( ) , ( ) ,U x U y????此時令由 U的定義 ， ? ?**111,x x y????～ ? ?**221y x y????～12( ) ( ) ,U x U y??? ? ?因為 由性質(zhì) 1 xy必有 。31 必要性 2 ~ ( ) ( )x y U x U y?（ ） 證 明 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 。,x y B?任取 ， xy設(shè)， ( ) ( ) ,U x U y?證若不然 ， ? ?()U x U y? 。? ?()U x U y?不妨設(shè) ， 由結(jié)論 1， xy此時有 ，xy這與 矛盾。32 充分性 2 ~ ( ) ( )x y U x U y?（ ） 證 明 ： 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 。? ?()U x U y?若， xy而 不成立，x y y x此時有兩種可能： ，或者 。? ?1 ) ( )U x U y?由結(jié)論（ ，必有 ，xy矛盾，所以 ，證畢。33 說明 一個效用函數(shù)可以通過正單調(diào)變換而獲得另一個 效用函數(shù)與原來的效用函數(shù)具有同樣的偏好關(guān) 系： 且 是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則有： ( ) [ ( ) ]u x f u x? (.)f( ) ( ) ( ) ( )u x u y u x u y? ? ?34 說明 注 1 序數(shù)效用函數(shù)不是唯一的 ， 但是都具有如下性質(zhì)： ? ?1. ( )U x U y? 的充要條件是：xy? ?2. ( )U x U y? 的充要條件是：xy35 注 2 在字典序上不存在與字典序相一致的效用函數(shù) 。 2B可以證明在字典序 上，不存在序數(shù)效用函數(shù)。注 3 B設(shè) 是具有偏好關(guān)系的有限集，:U B R?則存在效用函數(shù) 使得( 1 ) ( ) ( )x y U x U y?當(dāng)且僅當(dāng) ( 2 ) ~ ( ) ( )x y U x U y?當(dāng) 且 僅 當(dāng)B當(dāng) 只有兩個元素時，結(jié)論顯然成立。12, nx x x設(shè)B 有n 個元素 時，定理成立。36 第 2節(jié) 不確定條件下的偏好關(guān)系與效用 ? 不確定性環(huán)境下的行為選擇 ? 不確定性下理性決策的兩種原則 ? 期望效用函數(shù) ? 期望效用準(zhǔn)則矛盾 37 引言 ? 在第 1節(jié)中，我們討論了當(dāng)選擇對象是確定的，且滿足偏好關(guān)系的三條性質(zhì)（序保持性、中值性和有界性）的條件下，序數(shù)效用函數(shù)的存在性定理。 ? 本節(jié)將把效用概念推廣到選擇對象包含不確定（風(fēng)險）的情形。 38 經(jīng)濟(jì)分析中的不確定性是與風(fēng)險相聯(lián)系的。兩個概念的密切關(guān)系導(dǎo)致大家對其認(rèn)識的不一致。 很多文獻(xiàn)認(rèn)為， 不確定性是指經(jīng)濟(jì)行為結(jié)果雖然是不確定的，但是各種結(jié)果出現(xiàn)的概率是確定的。 也有一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為 各種可能出現(xiàn)的結(jié)果存在一個確定概率的經(jīng)濟(jì)行為是具有風(fēng)險性的；可能出現(xiàn)結(jié)果的概率是未知的才能稱為具有不確定性， 例如奈特 (FKnight） 。 目前大多數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)沒有嚴(yán)格區(qū)分不確定性與風(fēng)險性。 39 注意 ? 在 金融數(shù)學(xué)中，我們所說的不確定性就是指風(fēng)險。 ? 在不確定性經(jīng)濟(jì)中，偏好關(guān)系式建立在不同的概率分布之間。 40 不確定性下理性決策的兩種原則 ? 數(shù)學(xué)期望最大化原則 ? 期望效用最大原則 41 數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各 種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動方案優(yōu)劣 。 這 一準(zhǔn)則有其合理性 ， 它可以對各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確 的優(yōu)劣比較 ， 同時這一準(zhǔn)則還是收益最大準(zhǔn)則在不確 定情形下的推廣 。 問題：是否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是一最優(yōu)的不確定性下 的行為決策準(zhǔn)則 ？ 42 圣彼德堡悖論 Daniel Bernoulli （ 17001782）是出生于瑞士名門著名數(shù)學(xué)家。其在 1738 年發(fā)表 《 對機(jī)遇性賭博的分析 》 提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。 指出： 人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的 。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關(guān)。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。 Daniel Bernoulli （ 17001782) 43 典型案例：圣彼德堡悖論（ Saint Petersbury Paradox） 考慮一個投幣游戲，如果第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以 得到 1元， 第一次反面，第二次正面得 2 元，前兩次反 面，第三次正面得 4 元， ?? 如果前 n1 次都是反面， 第 n 次出現(xiàn)正面得 元。問：游戲的參加應(yīng)先付多 少錢，才能使這場賭博是“公平”的？ 12n?44 該游戲的數(shù)學(xué)期望值： 但實驗的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意 支付的成本（門票）僅為 23元。 圣彼德堡悖論：面對無窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何 人們只愿意支付有限的價格？ 11 1 1 1( .) 1 2 4 22 4 8 2nnE?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?45 Daniel Bernoulli （ 17001782）是出生于瑞 士名門著名數(shù)學(xué)家， 17251733年期間一直在圣彼德堡 科學(xué)院研究投幣游戲。其在 1738 年發(fā)表 《 對機(jī)遇性賭博的 分析 》 提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理 論”。指出人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來 作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期 望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關(guān)。窮人與富 人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。 46 即人們關(guān)心的是最終財富的效用，而不是財富的價值量， 而且，財富增加所帶來的邊際效用（貨幣的邊際效用）是 遞減的。 伯努利選擇的道德期望函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即對投幣游戲 的期望值的計算應(yīng)為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計算： 其中， 為一個確定值。 11( . ) l o g 2 1 . 3 92nnnE ????????＞ 047 另外， Crammer（ 1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進(jìn)行了分析。假定： 則 ()u x x?11111[ ( ) ] ( ) ( ) 22 22xxxxE u x p x u x?????? ? ? ???48 因此， 期望收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下可能導(dǎo)致 不可接受的結(jié)果。而貝努利提出的用 期望效用 取代 期望收 益 的方案，可能為我們的不確定情形下的投資選擇問題提 供最終的解決方案。 根據(jù)期望效用， 20%的收益不一定和 2倍的 10%的收 益一樣好； 20%的損失也不一定與 2倍的 10%損失一樣 糟 。 2{ [ ( ) ] } 4x E u x??49 期望效用函數(shù) ? 期望效用函數(shù)理論是 20世紀(jì) 50年代，馮 諾一曼和摩根斯坦 (Von Neumann and Menstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對理性人 (rational actor)選擇進(jìn)行分析的框架。不過，該理論是將個體和群體合而為一的。 ? 后來，阿羅和德布魯（ Arrow and Debreu）將其吸收進(jìn)瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析范式，進(jìn)而構(gòu)筑起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)并由此展開的包括宏觀、金融、計量等在內(nèi)的宏偉而又優(yōu)美的理論大廈。 50 （上） John von Neumann (19031957) （下） Oskar Menstern (19021977) ? 1944 年在巨著 《 對策論與經(jīng)濟(jì)行為 》 中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中首次嚴(yán)格定義風(fēng)險 51 ? 所謂 期望效用函數(shù) 是定義在一個隨機(jī)變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機(jī)變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機(jī)變量上取值的數(shù)學(xué)期望。用它來判斷有風(fēng)險的利益就是比較“ 錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ”（“ 而不是錢的數(shù)學(xué)期望 ”）。 52 1 彩票以及彩票集合上的偏好關(guān)系 ? 不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態(tài)本身的選擇或隨機(jī)變化。 ? 第一步的任務(wù)是要明確：什么是在不確定情況下，我們要討論的“商品”和“商品空間。 ? 不確定下的選擇對象被人們稱為彩票（ Lottery）或未定商品（ contingent modity）。 53 彩票概念： 12, , .. ., nn x x x的 結(jié) 果 假 設(shè) 用 個 隨 機(jī) 變 量 表 示 ，隨機(jī)變量的概率分布可用向量表示為 12=1( , , .. . ) 0 , = 1nn i iiP p p p p p?? ?1 2 1 2 L ( , , , 。 , , ... ) = ( , )nnx x x p p p?我 們 稱為 簡 單 彩 票 （ 或 一 次 性 抽 彩 ） 。xP設(shè)想消費者參加一次抽獎（ lottery），所有可能產(chǎn)生 如， A為中獎，中獎的概率為 P， C為不中獎， L=(P,A,C)描述了一種彩票情況 54 ),。,( 111 nn xxppL ???2 1 1( q , , q 。 , , )nnL x x?12( 。 , ) , 0 1L L L??? ? ?若彩票選擇的結(jié)