高中數(shù)學(xué)1-3簡單曲線的極坐標(biāo)方程(編輯修改稿)
2025-02-02 16:31 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ∴ x2＋ y2＝ 2ay，這就是要求的直角坐標(biāo)方程． ( 3) t an θ ＝ yx ， ∴ t an π3 ＝ yx ＝ 3 ，化簡得 y ＝ 3 x ( x ≥ 0) ． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 題型四 求動點的軌跡方程 【例 4 】 (2022 啟東高二檢測 ) 在極坐標(biāo)系中 ， 從極點 O 作直線與另一直線 l ： ρ cos θ ＝ 4 相交于點 M ， 在 OM 上取一點 P ，使 | OM | | OP |＝ 12. (1) 求點 P 的軌跡方程； ( 2) 設(shè) R 為 l 上任意一點 ， 試求 RP 的最小值． [ 思維啟迪 ] 解答本題可以設(shè)出動點 P 、 M 的極坐標(biāo) ， 然后代入條件等式求解即可．也可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 法一 (1) 設(shè)動點 P 的極坐標(biāo)為 ( ρ ， θ ) ， 則點 M 為 ( ρ 0 ， θ ) ． ∵ | OM | | OP |＝ 12 ， ∴ ρ 0 ρ ＝ 12 ， 得 ρ 0 ＝12ρ. ∵ M 在直線 ρ cos θ ＝ 4 上 ， ∴ ρ 0 c os θ ＝ 4. 即12ρcos θ ＝ 4 ， 于是 ρ ＝ 3cos θ ( ρ ＞ 0) 為所求的點 P 的軌跡方程． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 (2) 由于點 P 的軌跡方程為 ρ ＝ 3 cos θ ＝ 232cos θ ， 所以點 P 的軌跡是圓心為??????32， 0 ， 半徑為32的圓 ( 去掉極點 ) ． 又直線 l ： ρ cos θ ＝ 4 過點 (4, 0) 且垂直于極軸 ， 點 R 在直線 l 上 ，由此可知 RP 的最小值為 1. 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 法二 (1) 直線 l ： ρ co s θ ＝ 4 的直角坐標(biāo)方程為 x ＝ 4 ， 設(shè)點 P ( x ， y ) 為軌跡上任意一點 ， 點 M (4 ， y0) ， 由 O P→∥ O M→得 y0＝4 yx( x ＞ 0) ． 又 | OM | | OP |＝ 12 ， 則 | OM |2| OP |2＝ 144 ， ∴ ( x2＋ y2)??????16 ＋16 y2x2 ＝ 144 ， 整理得 x2＋ y2＝ 3 x ( x ＞ 0) ， 這就是點 P 的軌跡的直角坐標(biāo)方程． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 (2) 由上述可知 ， 點 P 的軌跡是圓心為??????32， 0 ， 半徑為32的圓 ( 去掉原點 ) ． 又點 R 在直線 l ： x ＝ 4 上 ， 由此可知 RP 的最小值為 1. 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 【反思感悟】 (1) 在直角坐標(biāo)系中 ， 求曲線的軌跡方程的方法有直譯法 ， 定義法 ， 相關(guān)點法等．在極坐標(biāo)系中 ， 求曲線的極坐標(biāo)方程以上方法仍然是適用的． (2) 由于動點 P 與動點 M 的極角相同 ， 所以方法一利用兩個動點的極徑的關(guān)系式 ， 直接求出了動點軌跡的極坐標(biāo)方程 ， 然后利用極坐標(biāo)方程的曲線的形狀求出了線段長度的最小值．方法二將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程 ， 根據(jù)平面解析幾何求出軌跡的直角坐標(biāo)方程這一常規(guī)方法使問題得解． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 【變式 4 】 在極坐標(biāo)系中 ， 已知圓 C 的圓心 C??????3 ，π3， 半徑 r＝ 3. (1) 求圓 C 的極坐標(biāo)方程． (2) 若 Q 點在圓 C 上運動 ， P 在 OQ 的延長線上 ， 且 O Q→＝2 QP→， 求動點 P 的軌跡方程． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 解 ( 1 ) 設(shè) M ( ρ ， θ ) 是圓 C 上任意一點 ， 在 △ OCM 中 ， ∠ COM ＝ | θ －π3|， 由余弦定理得 | CM |2＝ | OM |2＋ | OC |2－ 2| OM || OC | c os ∠ COM ∴ 32＝ ρ2＋ 32－ 2 3 ρ cos??????θ －π3 即 ρ ＝ 6cos??????θ －π3為所求 ． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 (2) 設(shè)點 Q 為 ( ρ1， θ1) ， 點 P 為 ( ρ ， θ ) ， 由 O Q→＝ 2 O P→得 O Q→＝ 2( O P→－ O Q→) ∴ O Q→＝23O P→， ∴ ρ1＝23ρ ， θ1＝ θ ， 代入圓 ρ1＝ 6 cos??????θ1－π3的方程得23ρ ＝ 6cos??????θ －π3， 即 ρ ＝ 9cos??????θ －π3為所求． 課前自主學(xué)習(xí) 課堂講練互動 教材超級鏈接 (2022北京高考 )極坐標(biāo)方程 (ρ－ 1)(θ－ π)＝ 0(ρ≥ 0)表示的圖形是 ( )． A．兩個圓 B．兩條直線 C．一個圓和一個射線 D．一條直線和一條射線 解析 由 (ρ－ 1)(θ－ π)＝ 0(ρ≥ 0)得， ρ＝ 1或 θ＝ π，其中 ρ＝ 1表示以極點為圓心，半徑為 1的圓， θ＝ π表示以極點為起點與 Ox反向的射線． 答案 C 高考在線 —— 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【 例 1】 點擊 1 考查極坐標(biāo)
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