【文章內(nèi)容簡介】 —— 無因次坐標(biāo) 。 —— 無因次時間。 由于 則連續(xù)方程的無因次表達(dá)式為 同理，動量方程的無因次表達(dá)式為： 能量方程 (29)為： 將 (211)、 (212)、 (213)仍然寫成矩陣形式為： 引入符號 于是方程組 (214)化為： 上式是一個非線性的一階雙曲型偏微分方程組，它的解要用近似的數(shù)值方法求得。 方程組無法獲得解析解，必須采用近似的數(shù)值方法。有限差分法是求解偏微分方程最常用的數(shù)值解法之一，其基本原理是：在積分域內(nèi)用有限的數(shù)值差商代替極限形式的微商，將連續(xù)問題離散化，最終化成有限形式的 線性代數(shù)方程組 [50]。用差分法將偏微分方程組離散化的步驟是，首先在求解區(qū)域作網(wǎng)格劃分，對于一維情形是把 x區(qū)間分成一些等距或不等距的小區(qū)間即空間步長，用有限數(shù)目的網(wǎng)格節(jié)點代替連續(xù)的求解區(qū)域 [51]。然后將原微分方程組轉(zhuǎn)化成差分形式的方程組 。最后從已知的初始值開始，按照一定時間步長沿時間軸逐步推算，直至符合設(shè)定的精度 [39]。 差分格式的構(gòu)造與偏微分方程的特征及解的性質(zhì)有關(guān)，由于特征型方程的兩大優(yōu)點： (1)便于反映物理意義 (2)便于邊界處理 [50]。所以在得出雙曲型 方程組的差分格式之前先引入關(guān)于特征的一些概念。 將一維非定常氣流的守恒型方程組寫成如下形式： 方程稱為一維非定常氣流的特征型方程組，下面對方程中的第一式進(jìn)行分析： 由式 (222)知 ， 即 u沿直線值 L保持不變，這種直線是特征線 [52]。圖 2— 3是 a0和 a0時的特征線示意圖。沿特征線，方程可以化為常微分形式，而且波則沿著特征線以有限速度 a傳播。因為波速是有限值，所以存在依賴區(qū)域和影響區(qū)域，這些特點對雙曲型方程的數(shù)值求解很重要 [50]。 上式中 C為常數(shù)。為確保時間增加時，解 有界，也必須使 V有界，即 Re(a)0,則 a0，因此對方程 ,為使計算穩(wěn)定，若 a0,則用空間向后差分近似 ,反之 a0,則空間 導(dǎo)數(shù)應(yīng)向前差分，否則不穩(wěn)定。 前的系數(shù) a表示波運動的速度， a0表明波是沿 x軸正方向運動，這時要用向后差分的格式來近似空間一階導(dǎo)數(shù)才能保證差分格式條件穩(wěn)定。由于差分指向與波前進(jìn)方向剛好相反，所以稱迎風(fēng)或逆風(fēng)，如圖 24所示，可見迎風(fēng)格式與特征線的方向相關(guān) [52]。 當(dāng) k0時，對式構(gòu)造右偏心的迎風(fēng)差格式： 下面用特征線方法構(gòu)造本文所用的 LaxWenrodff 差分格式，令 a0，特征線方向和網(wǎng)格如圖 26所示，假定第 n時間層值 已知，要計算第 n+1時間層 p點的 (m,n+1)值 。過 P點作特征線與 n時間層相交于 Q點，若 CFL條件成立，即點在線段 BC上。根據(jù)特征線上參數(shù)值保持不變的 特點可知 都已得到，因此可以在 B、 C、 D三點作拋物型插值來求出的值，從而得到的值 [52]。 將非線性雙曲方程的兩步 LaxWendroff差分格式應(yīng)用在無因次化后的一維非定常氣流守恒型方程組： 圖 27展示了 LaxWendroff兩步法用到的網(wǎng)格。第一步，從 Z時刻節(jié)點 1和節(jié)點 2的信息計算出 Z+1/2△Z 時刻節(jié)點 4的信息，同樣從節(jié)點 2和節(jié)點 3計算出節(jié)點 5。第二步，根據(jù)節(jié)點 4和節(jié)點 5的信息，計算出 Z+△Z 時刻節(jié)點 6的結(jié)果。但此差分格式僅適用于計算管道內(nèi)部節(jié)點，不能計算管道端點即邊界點，因為用 Z時刻各節(jié)點的信息去計算 Z+△Z 時刻的信息時，需要用到相鄰節(jié)點 的信息，而對邊界節(jié)點缺乏相鄰點的信息，所以不能計算 [2]。邊界節(jié)點和的計算需要借助特征線法 [21]。 將方程式 (220)的方程式單獨列出： 根據(jù)特征線的性質(zhì)，沿特征線方程化為常微分關(guān)系式。方程 于是特征型方程組 設(shè)滿足穩(wěn)定條件的時間步長是 △Z ，它與網(wǎng)絡(luò)均分距離 △X 構(gòu)成計算網(wǎng)絡(luò)。在管路的始端和末端兩個邊界節(jié)點需要用特征線法處理。將式和中的特征線視為直線，其斜率由所在點Z時刻的 U和 A值來確定。沿第一特征線的黎曼變量的變化量的求法是： 綜上所述，在等截面管的內(nèi)部節(jié)點使用精度較高的兩步 LaxWendroff法，在邊界節(jié)點上使用勻熵修正理論給出的特征線法計算 [34]。 管道端點分內(nèi)外兩種。與 外界相連的端點稱為外端點，主要有三類：開口端、閉口端和壓縮機(jī)端，管道不同單元間連接的端點稱為內(nèi)端點，如突變截面聯(lián)接點、容器聯(lián)接點等 [39]。下面用特征線法說明外端點與內(nèi)端點的處理方法。 用 U U2分別表示節(jié)點 2在 t時刻的無因次速度， 表示節(jié)點 2在 t+△t 時刻的無因次速度，密度、壓力、黎曼變量等參數(shù)的表示方式與此相同。 首先介紹兩個重要的關(guān)系式： 根據(jù)管內(nèi)氣流方向或指定方向，左端點用第二特征線求 β。 右端點用第一特征線求 λ 。管道左、右端點的特征線如圖 29所示。 1)外端點 (1)閉口端 盲管、關(guān)閉的閥門處、壓縮機(jī)氣閥關(guān)閉時都是閉口邊界，閉口端速度為 0， U=0。根據(jù)和求出密度和壓力： (2)開口端 管道端部與大氣連通或者壓力為定值都是開口端，端點處壓力是常數(shù)即常數(shù) 。其它參數(shù)求法如下： (3)壓縮機(jī)端 與氣缸相連的管道端點認(rèn)為是此邊界條件 [54]。氣閥開啟后，受氣閥閥片運動和活塞運動 的影響，壓縮機(jī)端的氣流運動是非常復(fù)雜的，為簡化求得與氣缸相連的管道端點的氣流速度，作出以下假定 [55]： a)氣閥的關(guān)閉與打開都是瞬間進(jìn)行，于是忽略掉閥片運動對氣流流動的影響 。 b)氣閥打開后，吸、排氣口處氣流速度與活塞速度成相關(guān)，其相關(guān)性系數(shù)是活塞面積與管道橫截面積的比值 [56]。 基于以上假定可以得出氣閥開啟的時間內(nèi)，壓縮機(jī)端氣流的無因次速度為 [39]： 本文數(shù)學(xué)模型是以等截面管道內(nèi)氣流為分析對象建立起來的，所以只能對等截面管道劃分網(wǎng)格進(jìn)行計算。而實際管道系統(tǒng)還有突變截面、容器、孔板、閥門等元件，這些非等截面管道元件將整個管路分割成不同長度的管段，管段內(nèi) 部都是用二階精度的差分格式計算，管段與非等截面管道元件的聯(lián)接處，流動