[理學(xué)]理論力學(xué)-第4章(編輯修改稿)
2025-01-31 22:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 tdldlx????s ins inc os2c os2??????? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 SHENZHEN UNIVERSITY 例 題 1 描述點(diǎn)的運(yùn)動的直角坐標(biāo)法 P點(diǎn)的運(yùn)動方程： P點(diǎn)的速度： tωdyvωtdlωxvyxωc o s) s in(2????????P點(diǎn)的加速度： ωtdωyaωtdlωxayxs in) c os(222??????????? ? ? ?tddytdldlx????s ins inc os2c os2??????? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 SHENZHEN UNIVERSITY 例 題 1 幾點(diǎn)討論 : 1. 建立運(yùn)動方程時，一定要將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的 一般位置： 對于直線坐標(biāo)，位于坐標(biāo)軸的正向； 對于直角坐標(biāo)系，位于坐標(biāo)系的第一象限。 P點(diǎn)運(yùn)動的性質(zhì)：何時作加速度運(yùn)動？何時作減速度運(yùn)動？ 這一問題請同學(xué)們自己研究。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 SHENZHEN UNIVERSITY 例 題 2 半徑為 R的圓盤沿直線軌道無滑動地滾動 （ 純滾動 ） ，設(shè)圓盤在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動 ， 且輪心 A的速度為 v0(t) 1． 分析圓盤邊緣一點(diǎn) M的運(yùn)動 ， 并求當(dāng) M點(diǎn)與地面接觸時的速度和加速度以及 M點(diǎn)運(yùn)動到最高處時 ， 軌跡的曲率半徑； 2． 討論當(dāng)輪心的速度為常數(shù)時 ， 輪邊緣上各點(diǎn)的速度和加速度分布 。 R v0 A ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 SHENZHEN UNIVERSITY M ?????????c o ss inAMACyAMOCx ( s in )(1 c o s )xRyR??????????例 題 2 于是 M點(diǎn)的運(yùn)動方程為： 解： 1. 建立坐標(biāo)系 Oxy ?RCMOCx A ??? 取點(diǎn) M所在的一個最低位置為原點(diǎn) O， 設(shè)在任意時刻 t圓盤的轉(zhuǎn)過的角度為 ?CAM＝ ?， ?為時間 t的函數(shù) ， C是圓盤與軌道的接觸點(diǎn) ，由于圓盤作純滾動 ， 所以： ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 SHENZHEN UNIVERSITY ?????????c o ss inAMACyAMOCx ( s in )(1 c o s )xRyR??????????點(diǎn) M的速度分量為： (1 c o s )s inxRyR??????? ?? ?22(1 c o s ) s i ns i n c o sx R Ry R R? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? ?加速度分量為： 于是 M點(diǎn)的運(yùn)動方程為： M a ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY 解： 2． 建立 和 與圓盤中心 A點(diǎn)的速度 v0(t)之間的關(guān)系 ? ?Ax O C R???將其對 t 求一次導(dǎo)數(shù)，可得 0Ax R v???a M ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 因為圓盤沿直線軌道作純滾動 ，故輪心 A點(diǎn)作水平直線運(yùn)動 ， 所以有 SHENZHEN UNIVERSITY 再對 t 求一次導(dǎo)數(shù)，可得 這對于沿直線軌跡滾動的物體都是正確的。 0Ax R v???00Ax R v a?? ? ?引入 則有 ??? ???RaRv00????M a ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY M a 即輪上 M點(diǎn)的速度大小與 M點(diǎn)到 C點(diǎn)（輪上與地面接觸點(diǎn)）的距離成正比。其方向由下式確定： ? ?c o s c o s 2v , j yvv ??? ? ?c os sin 2v , i xvv ???? ??? c o s1222 ???? Ryxv ??MCv ?? ?? 2s in2 0M點(diǎn)的速度大小為 ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 解： 2． 建立 和 與圓盤中心 A點(diǎn)的速度 v0(t)之間的關(guān)系 ? ?例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY 于是，純滾動時輪上各點(diǎn)的速度如圖所示。 v ? MC 當(dāng) ? = 0和 ? = 2?時， M點(diǎn)與地面接觸，此時 M點(diǎn)的速度為零。 從圖中的幾何關(guān)系可以證明：任意點(diǎn)的速度矢量垂直于滾動時輪與地面接觸點(diǎn)的連線，即， M a ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY 加速度可由式 22(1 c o s ) s i ns i n c o sx R Ry R R? ? ? ?? ? ? ??? ? ?????求得 ja 2??R? 由此可見，當(dāng) M點(diǎn)與地面接觸時，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。該加速度是點(diǎn) M在此瞬時的切向加速度，因為此時速度為零，故其法向加速度為零。 ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY M a 220n vaR R???這時 M點(diǎn)的速度為 v =2v0，于是，軌跡在最高處的曲率半徑為： RRv vav 4)2( 2020n2 ???? 3．確定 M點(diǎn)的軌跡在最高點(diǎn)處的曲率半徑 iv 02v? 22a i jRR???? M點(diǎn)軌跡在最高點(diǎn)處的切線方向與 i 同向；曲線向下彎曲，所以主法線方向與－ j 同向。于是，法向加速度的大小為： 由于當(dāng) ? = ?時， M點(diǎn)的速度和加速度分別為： ? 點(diǎn)的運(yùn)動學(xué) ? 位矢、 速度和加速度 例 題 2 SHENZHEN UNIVERSITY ： 若 v0為常矢量，則 ?為常量，故，此時由式 M點(diǎn)加速度大小恒為：
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