彈性力學(xué)第6章---用有限單元法求平面問題(編輯修改稿)
2025-01-04 09:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????????iB其中 , B 稱為 應(yīng)變矩陣 ，用分塊矩陣表示， , (d )? ? ?eeζ D ε DB δ S δ再應(yīng)用 物理方程， 求出 單元的應(yīng)力列陣： 第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)變 ,應(yīng)力 其中 , S稱為 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 ， 寫成分塊形式為 , (d )? ? ?eeζ D ε DB δ S δ 對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為 常應(yīng)變（應(yīng)力）單元 。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是 ,其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。 ( ) , ( e)i j m?S S S S2( , , ) ( f )2( 1 )1122iii i i iiib μ cEμ b c i j mμ Aμ μcb?????? ?????????S D B .()ox?再應(yīng)用 物理方程， 求出 單元的應(yīng)力列陣： 第六章 用有限單元法解平面問題 167。 65 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣 現(xiàn)在來考慮其中一個單元： 模型 ,結(jié)點力 在 FEM中，首先將 連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。 (2)單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系 ,只在結(jié)點 i,j,m互相聯(lián)系。 (1)將作用于 單元上的各種外荷載 ,按靜力等效原則移置到結(jié)點上去 ,化為等效結(jié)點荷載。 故單元內(nèi)已沒有外荷載。 假想將單元與結(jié)點 i 切開，則： ),(,)( mjiFF Tiyix?iF),(,)( mjiFF Tiyix ???? iF其數(shù)值與 相同，而方向相反。 iF以沿正坐標向為正。 對單元而言 ,這是作用在其上的 “ 外力 ” 。 (1)結(jié)點作用于單元上的力 ，稱為 結(jié)點力 ， (2)單元作用于結(jié)點的力， 為： 第六章 用有限單元法解平面問題 。)( Tmjie FFFF ? ( ) .Tx y x yσ σ τ?ζ而其內(nèi)部有 應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點切開后的單元 i,j,m， 則此 單元上作用有外力 ,即結(jié)點力 , 應(yīng)用 虛功方程， 求單元的結(jié)點力： 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 則單元內(nèi)任一點 (x,y)的虛位移為 單元內(nèi)任一點 (x,y)的虛應(yīng)變?yōu)? 代入虛功方程：在單元中，外力 (結(jié)點力 )在虛位移 (結(jié)點虛位移 )上的虛功，等于應(yīng)力 在虛應(yīng)變 上的虛功，即： ,)( e*δ,)( e** δNd ? ,)( e** δBε ?eF)(ζ )( *εe)( *δ? ?( ( ) ) ( ) . ae T TA d x d y t? ??* e *δ F ε ζ虛功方程 ,))(())(()( TTeTeT BδδBε *** ??代入 其中 與 x,y無關(guān)，故式 (a)成為 e)( *δ( ( ) ) ( ( ) ) e T e T A d x d y t? ??* e * Tδ F δ B ζ .因為 是獨立的任意的虛位移，虛功方程對任意的 均應(yīng)滿足，故 e)( *δ e)( *δ式 (b)是 由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式 。 ? ? TA d x d y t? ??eFB ζ .b第六章 用有限單元法解平面問題 式 (c)是 由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式， k稱為單元的 勁度矩陣 . 其中 , 再將應(yīng)力公式代入上式，得 單元勁度矩陣 ? ?[ ] ce T e eA d x d y t????F B D B δ k δ? ? dTA d x d y t? ??k B D B式 (b)是 由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式 。 ? ? TA d x d y t? ??eFB ζ .b對于三角形單元， B矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有 ? ? etA? Tk B D B代入 B， D， 得出 k如書中 (637)及 (638)所示。 第六章 用有限單元法解平面問題 ( 6 37)ii ij imji jj jmm i m j m m?????????k k kk k k kk k k? ?2 221122= ,114 ( 1 )22 , , , 。 , , . ( 6 38 )r s r s r s r slnr s r sr s r s r s r sb b c c b c c bEtkμ Ac b b c c c b br s i j m l n x y?????????????????? ?????????????k對于三角形單元， B矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有 ? ? etA? Tk B D B代入 B， D， 即得平面應(yīng)力問題中三結(jié)點三角形單元的剛 (勁 )度矩陣，可寫成如下 分塊矩陣 的形式： 其中， 第六章 用有限單元法解平面問題 (1)k是 6 6的方陣 , k中元素 表示僅在單元結(jié)點 s沿 n方向產(chǎn)生單位位移時引起結(jié)點 r沿 l方向的結(jié)點力。 (2)由反力互等定理， 所以 k是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。 ,kk?rs sr單元勁度矩陣 k的性質(zhì) ： (3)當單元作剛體平移時，如 三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點力也為 0。 1,i j mu u u? ? ?(4)由 (3)可導(dǎo)出行列式 (即 k為 奇異矩陣 )。 (5)k的元素與 單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動以及作 度轉(zhuǎn)動無關(guān)。 即 ,k中每一行（或列）元素之和為 0（其中第 5元素之和 (對應(yīng) x向 )或 6元素之和 (對應(yīng) y向 )也為 0）。 , tE ?0?k?nlnrsk第六章 用有限單元法解平面問題 例題 某等腰直角三角形單元 ijm如圖所示 ,已知在所選取的坐標系中 ,單元結(jié)點坐標分別為 : 0000i j mi j mx a x xy y a y? ? ?? ? ? 應(yīng)用 11, , ( , , )jjiimmyxb c i j m? ? ?11 12 1iijjmmxyA x yxy? 。 可得 200 .2i j mi j mb a b b aac c a c a A? ? ? ?? ? ? ? ? 應(yīng)用公式 可得該單元的 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 為 ()i j m?S S S S2( , , )2 ( 1 )1122iiiiiiiib μ cEμ b c i j mμ Aμ μcb?????? ?????????S D B.2( 1 )1 0 0 1 0 0 1 1 ( e )1 1 1 1002 2 2 2Eμ a????? ? ? ??????? ??? ? ???? ? ? ?????S. 第六章 用有限單元法解平面問題 可得該單元的 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 為 21 0 0 10 0 1 1 ( e )( 1 )1 1 1 1002 2 2 2Eμ a????? ? ? ????? ??? ? ??? ? ? ???????S . 應(yīng)用教材式 (637)及式 (638)可得該單元的 單元剛度矩陣 為 2110211022 ( f )0 0 12( 1 )1 1 3
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