【文章內(nèi)容簡介】 ????????? 2222zyzxzyzyxyxzxyxxyzzxyyzxzxyzxyzyxI??????????????????????????? 2223 2321 , III032213 ???? III ??? （ ） 31 主應(yīng)力 一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用六個直角應(yīng)力分量組成的矩陣來表示： 應(yīng)力不變量可以用主應(yīng)力表示成： x x y x zx y y y zx z y z z? ? ?? ? ?? ? ??????????σ123000000????????????σ321313322123211 。 ???????????? ??????? III（ ） 也可以通過選擇主坐標(biāo)作為參考坐標(biāo)，用主應(yīng)力組成的矩陣來表示： 32 主應(yīng)力 （ 3）摩爾圓 彈性體內(nèi)任一點的應(yīng)力狀態(tài)可以用摩爾圓來表示，一點的應(yīng)力狀態(tài)的具體值在陰影區(qū)域表示。 主應(yīng)力按代數(shù)值排列 ，以 和 為坐標(biāo)軸的橫軸和縱軸，沿著 軸標(biāo)記出 和 ，接著畫三個圓，直徑分別為 ( ), ( ) 和 ( ), 如圖 16所示 圖 16 應(yīng)力摩爾圓 321 ??? ?? ? ? ?21 ?? , 3? 21 ?? ? 32 ?? ? 31 ?? ? 用摩爾圓圖形可顯示任一可能截面上的應(yīng)力，如圖 ，這個陰影區(qū)叫做摩爾應(yīng)力的 π平面，這三個圓就叫作摩爾圓。 從圖中可以得出以下結(jié)論： （ 1）主應(yīng)力用圖上點 A， B和 C來表示，這些點相應(yīng)的剪應(yīng)力為 0。 （ 2）最大剪應(yīng)力為 ，對應(yīng)的正應(yīng)力為 ，可用圖上 D點表示。 2/)( 31 ?? ?2)( 31 ?? ? （ 3）對于正應(yīng)力有三個極限值和所對應(yīng)的平面叫主應(yīng)力平面 ，主剪應(yīng)力有 2)(。2)(。2/)(213312321 ????????? ??????（ ） σAσ1τBσ2Cσ3OEDFQ ( σ , τ )π 平 面33 平衡微分方程 一般情況下物體內(nèi)不同的點將有不同的應(yīng)力。各點的應(yīng)力分量都是點的位置坐標(biāo)（ x, y, z）的函數(shù)，而且在一般情況下，都是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。當(dāng)彈性體在外力作用下保持平衡時，可根據(jù)平衡條件來導(dǎo)出應(yīng)力分量與體積力分量之間的關(guān)系式，即平衡微分方程。這是彈性力學(xué)基礎(chǔ)理論中的一個重要方程式。 圖 17 微小單元體的應(yīng)力平衡 A B B’ D D’ C C’ ? x ????xxxdx? ? yx ?? ??zxzxzdz? ? zx ????yxyxydy? x z y A’ 根據(jù)平衡方程，有， 0 ????????? ???????????????????? ?X d x d y d zd x d yd x d ydzzd x d zd x d zdyyd y d zd y d zdxxzxzxzxyxyxyxxxx???????????????整理得 ?????????x yx zxx y z X ? ? ? ? 0（ ） （ ） 34 平衡微分方程 同理可得 y方向和 z方向上的平衡微分方程。即 ???????????????????????????x yx zxxy y zyxz yz zx y zXx y zYx y zZ ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?000得,039。 ?? AAM022)(22)()()(22)()(2)(2????????????????????????????????dyd x d ydyd x d ydzzdxd x d ydxd x d ydzzd x d z d yyd x d z d yydxd x d zdxd x d zdyyd y d z d xdxxdyd y d zdxxdyd y d zzxzxzxzyzyzyyxyxyxyxyyyxyxyxxx??????????????????（ ） （ ） 35 平衡微分方程 展開這個式子，略去四階微量，整理后得到 或 0?? d x d y d zd x d y d z yxxy ??yxxy ?? ?同理，得 zyyz ?? ?和 xzzx ?? ?將上面三個式子聯(lián)立，得到任意一點處應(yīng)力分量的另一組關(guān)系式 yxxy ?? ? zyyz ?? ? xzzx ?? ?這個結(jié)果表明：任意一點處的六個剪應(yīng)力分量成對相等，即 剪應(yīng)力互等定理 xyzxyyzzx????????????????? ????????????σ為便于表示，一點的九個應(yīng)力分量寫成應(yīng)力列陣 ， （ ） （ ） （ ） 36 幾何方程 彈性體受到外力作用時，其形狀和尺寸會發(fā)生變化，即產(chǎn)生變形。應(yīng)變分量與位移分量之間存在的關(guān)系式一般稱為幾何方程，或叫做 Cauchy幾何方程(Geometrical Equations)。 從物體內(nèi) P點處取出一個正方微元體，其三個棱邊長分別為 dx、 dy、 dz，如圖 18所示。當(dāng)物體受到外力作用產(chǎn)生變形時，不僅微元體的棱邊長度會隨之改變，而且各棱邊之間的夾角也會發(fā)生變化。為研究方便，可將微元體分別投影到三個坐標(biāo)面上。圖 19為投影到 xoy 面的情況。 圖 18 微元體 zyxd zd yd xod xd yvuyoAA’BD C B’C’D’??x??uxdx??vxdx??uydy??vydy圖 19 位移與應(yīng)變 37 幾何方程 據(jù)此，可以求得 根據(jù)線應(yīng)變（正應(yīng)變）的定義， AB線段的正應(yīng)變?yōu)? ? ? ? ???? ??? ? ??? ???A B dx ux dx vx dx22 2???? ? x A B ABAB? ? ? ?因 ，故由上式可得 AB dx? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A B AB dxx x1 1? ?代入 (）式，得 2 22 2 2? ? ?? ?? ??x x ux ux vx? ? ? ??? ??? ? ??? ??? 由于只是微小變形的情況，可略去上式中的高階微量（即平方項）。 xux ??? ? 當(dāng)微元體趨于無限小時， AB線段的正應(yīng)變就是 P點沿 x方向的正應(yīng)變。用同樣的方法考察 AD線段，則可得到 P點沿 y方向的正應(yīng)變。 （ ） （ ） （ ） （ ） 38 幾何方程 式中 與 1相比可以略去，故 現(xiàn)在再來分析 AB和 AD兩線段之間夾角（直角）的變化情況。在微小變形時，變形后 AB線段的轉(zhuǎn)角為 ? ??y vy? xuxvdxxudxdxxvtg 1 ????????????????? ux xv ????同理， AD線段的轉(zhuǎn)角為 ? ??? uy由此可見， AB和 AD兩線段之間夾角變形后的改變（減?。┝繛? ? ?? ??xy vx uy? ? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 39 幾何方程 幾何方程完整表示如下： , , , , xyzxyyzzxuxvywu v w v u w vzvu x y z x y y zxywvyzuwzx? ???????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???????????? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ????ε , Tuwzx???????????（ ） 把 AB和 AD兩線段之間直角的改變量 ?xy 稱為 P點的角應(yīng)變（或稱剪應(yīng)變），它由兩部分組成，一部分是由 y方向的位移引起的，而另一部分則是由 x方向位移引起的；并規(guī)定角度減小時為正、增大時為負(fù)。 40 幾何方程 例題 14 考慮位移場 ，求在 P(1,0,2)的直角坐標(biāo)應(yīng)變分量是多少？ 解 ： 在 (1， 0， 2)線應(yīng)變?yōu)? 222 10])64(3[ ?????? kxy z jiys22 10 ??? yu 2103 ??? yzv 22 10)64( ???? xw0???xu 0???xv 21012 ????? xxw2102 ????? yyu 2103 ????? zyv 0???yw0???zu 2103 ????? yz