【文章內(nèi)容簡介】 物理方程 ? Boundary conditions 邊界條件 ? Saintvenant`s principle1 圣維南原理 ? solution of plane problem in terms of displacements 按位移求解平面問題 ? solution of plane problem in terms of stresses 按應力求解 平面問題 ? Case of constant body forces 常體力情況 下的簡化 ? Airy`s stress function. Inverse method and semiinverse method 艾瑞應力函數(shù)。逆解法與半 逆解法 Geometrical equations. Rigidbody displacements 幾何方程，剛體位移 ? 幾何方程 ? 剛體位移 )(21 , ijjiij uu ???yuxvyvxuxyyx ???????????? ??? ,0?ij?yuu ??? 0 xvv ??? 0表示任一點的微分線段上形變分量與位移分量之間的關系 。 Line segments PA, PB, PC ? To study deformation condition at a certain point P, we consider line segments PA, PB, PC 研究一點的變形，考慮通過 P點的三個正向微段 PA,PB,PC ? PA//x PA=dx P A positive x direction PB//y PB=dy P B positive y direction PC//z PC=dz P C positive z direction P A B C z y x Normal straina change in length per unit length 正應變 單位長度的長度改變 ? ?xchange in length per unit length of PA ? ?ychange in length per unit length of PB ? ?zchange in length per unit length of PC ? positive (negative) for elongation (contraction) ? ?xx向微段 PA的相對伸縮 ? ?yy向微段 PB的相對伸縮 ? ?z z向微段 PC的相對伸縮 P A B C z y x 伸長為正，縮短為負 Shearing strainthe change of a right angle（ radian) 剪應變 直角的改變量 (弧度 ) ? γxythe change of a right angle APB ? γyzthe change of a right angle BPC ? γzxthe change of a right angle APC ? positive (negative) for a decrease(increase) of the right angle ? γxy 直角 APB的改變量 ? γyz 直角 BPC的改變量 ? γzx 直角 APC的改變量 P A B C z y x 直角 變小為正， 直角 變大為負 幾何方程推導示意圖 xux ???? yvy ???? yuxvxy ???????用到兩個基本假定： 連續(xù)性假定； 小變形假定。 ),( vuP),( vduuA ?),( dvvuB ?dxPA?dyPB?P AB39。A39。B??39。Puvdyyvv ???dyyuu ???dxxuu ???dxxvv ???x y O 幾何方程推導（ ?x ） ? ?xchange in length per unit length of PA ? ?xx向微段 PA的相對伸縮 ?x =(A點 x向位移 P點 x向位移 )/PA xudxudxxuux ????????)(?P AB39。A39。B??39。Puvdyyvv ???dyyuu ???dxxuu ???dxxvv ???x y O xux ????幾何方程推導（ ?y ） ? ?ychange in length per unit length of PB. ? ?yy向微段 PB的相對伸縮 ?y =(B點 y向位移 P點 y向位移 )/PB yvdyvdyyvvy ????????)(?P AB39。A39。B??39。Puvdyyvv ???dyyuu ???dxxuu ???dxxvv ???x y O yvy ????幾何方程推導 γxythe change of a right angle APB ?= (A點 y向位移 P點 y向位移 )/PA xvdxvdxxvv????????)(??= (B點 x向位移 P點 x向位移 )/PB yudyudyyuu????????)(?yuxvxy ???????P AB39。A39。B??39。Puvdyyvv ???dyyuu ???dxxuu ???dxxvv ???x y O xvyuxy ???????? ???Notes 注： 規(guī)律 ? ?x=?u/?x x方向的位移 u對 x坐標求導 ?u/?x 為 x方向線段的 正應變 ?x 。 ? ?y=?v/?y y方向的位移 v 對 y坐標求導 ?v/?y 為 y方向線段的正應變 ?y 。 ? ?u/?yx方向的位移 u 對 y坐標求導為 y方向線段的轉角。 ? ?v/?xy方向的位移 v 對 x坐標求導為 x方向線段的轉角。 xux ???? yvy ???? yuxvxy ???????討論形變和位移之間的關系？？ ? 1. 如果物體的位移確定，則形變完全確定。 從物理概念上，當變形后各點的位置完全確定時，任一微分段上的形變（伸縮和轉角等）也就完全確定了；從數(shù)學推導上，當位移函數(shù)確定時，其導數(shù)也就確定了，因此形變分量也就完全確定了。 ? 2. 當物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定。 從物理概念上，在保持物體的內(nèi)部形變不變的條件下，物體還可以作剛體運動 —— 平動和轉動；從數(shù)學推導上，當由形變分量求位移分量，是一個積分的過程，積分常數(shù)是未定量。 Rigidbody displacementsdisplacements corresponding to zero strains 剛體位移 應變?yōu)榱銜r的位移 )(0 1 yfuxu ?????)(0 2 xfvyv ?????0)()(0 21 ????????? dx xdfdy ydfxvyu????? dx xdfdy ydf )()( 21yuyf ??? 01 )( xvxf ??? 02 )(Physical meanings of u0 v0 ? 剛體位移中 u0 v0 ? 的物理意義。 ? u0— the rigidbody translation in the x direction ? v0— the rigidbody translation in the y direction ? ? — the rigidbody rotation of the body about z axis ? u0— x向剛體平動 ? v0— y向剛體平動 ? ? — 繞 z 軸的剛體轉動 yuu ??? 0 xvv ??? 0Physical meanings of u0 v0 ? 剛體位移中 u0 v0 ? 的物理意義。 (1) Assume: u0≠0, v0 =0, ?=0, u(x,y)= u0, v(x,y)=0 u0 the rigidbody translation in the x direction. (2) Assume: u0 =0,v0≠ 0, ?=0, u(x,y)= 0, v(x,y)= v0 v0 the rigidbody translation in the y direction. (3) Assume: u0 =0,v0 =0, ?≠ 0, u= ?y v= ?x ? the rigidbody rotation of the body about z axis. ? x向剛體平動 ? y向剛體平動 ? 繞 z 軸的剛體轉動 yuu ??? 0 xvv ??? 0Physical meanings of u0 v0 ? 剛體位移中 u0 v0 ? 的物理意義 ??x y Oz x y r P y?x?r?yuu ??? 0xvv ??? 0結論： ? 1. 如果物體的位移確定，則形變完全確定。 從物理概念上，當變形后各點的位置完全確定時，任一微分段上的形變（伸縮和轉角等）也就完全確定了；從數(shù)學推導上，當位移函數(shù)確定時，其導數(shù)也就確定了，因此形變分量也就完全確定了。 ? 2. 當物體的形變分量確定時，位移分量不完全確定。 從物理概念上，在保持物體的內(nèi)部形變不變的條件下，物體還可以作剛體運動 —— 平動和轉動；從數(shù)學推導上，當由形變分量求位移分量，是一個積分的過程，積分常數(shù)是未定量。 思考題？？？ ? 1. 試證明微分體繞 z軸的平均轉動分量是： ? 2. 當應變?yōu)槌Ａ繒r， 試求對應的位移分量？ cba xyyx ??? ??? ,??????????????yuxv21?小測 1 以平面問題為例，取面積元為研究對象，作出其受力圖。 2 以平面問題為例，取三角形面積元為研究對象，作出其受力圖。 3 寫出平面問題的平衡方程。 4 寫出平面問題的幾何方程。 Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面問題的理論 ? Plane stress and plane strain 平面應力問題與平面應變問題 ? Differential equations of equilibrium 平衡微分方程 ? Stress at a point. Principal stresses 斜截面上的應力。主應力 ? Geometrical equations. Rigidbody displacements 幾何方程。剛體位移 ? Physical equations. 物理方程 ? Boundary conditions 邊界條件 ? Saintvenant`s principle1 圣維南原理 ? solution of plane problem in terms of displacements 按位移求解平面問題 ? solution of plane problem in terms of stresses 按應力求解 平面問題 ? Case of constant body forces 常體力情況 下的簡化 ? Airy`s stress function. Inverse method and semiinverse method 艾瑞應力函數(shù)。逆解法與半 逆解法 Physical equations. 物理方程 ? Hook’s law 虎克定律 實驗獲得； 物理關系，本構關系 ? ?)(1 zyxx E