【文章內(nèi)容簡介】 y dy a?????? ??? ????其 他? ? ? ?2222 , ,0 , Yay yaf x f x y dx a?????? ??? ????其 他? ? ? ?? ?2222|1 , ,| 20 , YXXy a xf x yf y x axfx? ??????? 其 他30 隨機變量及其分布 ? 已知在 Y=y的條件下，隨機變量 X服從均勻分布，條件概率密度為 由于 ，則隨機變量 X與Y不相互獨立 ? ? ? ?? ?2222|1 , ,| 20 , XYYx a yf x yf x y ayfy? ??????? 其 他? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2, xYf x y f x f y x y a? ? ?31 隨機變量及其分布 ? 1維 2維 …n 維 ? n維隨機變量： 定義在同一概率空間 上的 n個隨機變量 ? n維聯(lián)合分布函數(shù) ? k維邊緣分布函數(shù) ? 條件分布函數(shù) ? 相互獨立： 1 11, nX X X ? ?,FP?? ? ? ?1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nF x x x P X x X x X x? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2, , , , , , , ,kkF x x x F x x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11111, , | , , 1 1, , 1, , , , , , | , ,k k nknk k nx x x x k k nx x k nf x x x xf x x x xf x x??????? ? ? ? ? ? ? ?121 2 1 2, , , nk x x x nF x x x F x F x F x?32 隨機變量函數(shù)的分布 ? 離散隨機變量的函數(shù) 設 離散隨機變量的分布律為 P{X=xi}=pi， i=1,2,… 若對于 X的不同取值 xi， Y=g(X)的取值 g(xi)也不相同，則隨機變量 Y=g(xi)的分布律為 P{Y=g(xi)}=pi, i=1,2,3,… 若對于 X的有限個或可列無窮個不同的取值 , Y=g(X)取相同的值 y，則隨機變量 Y取值 y的概率等于 X取這些值的概率之和。 33 隨機變量函數(shù)的分布 X 2 1 0 1 2 P 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 3 1 1 3 5 4 1 0 1 4 0 1 0 1 0 1 21YX??22YX?3 sin 2YX??34 隨機變量函數(shù)的分布 ? 離散隨機變量的函數(shù) 設二維 離散隨機變量的分布律為 P{X=xi, Y=yj}=pij, i,j=1,2,… 若對于 (X,Y)的不同取值 (xi, yj), Z=g(X,Y)的取值 g (xi, yj) 也不相同，則隨機變量 Z=g(X,Y)的分布律為 P{Z= g (xi, yj)=pij, i,j=1,2,3,… 若對于 (X,Y)的有限個或可列無窮個不同的取值 , Z=g(X,Y) 取相同的值 z，則隨機變量 Z取值 z的概率等于 (X,Y) 取這些值的概率之和。 35 隨機變量函數(shù)的分布 ? 連續(xù)隨機變量的函數(shù) 設連續(xù) 隨機變量 X的函數(shù)為 Y=g(X), X概率密度為pX(x),則 Y的分布函數(shù)為 FY(y)=P{x: g(x) ≤y} Y的概率密度為 若 y=g(x)為單調(diào)函數(shù) , ( ) { : ( ) }Y dp y P x g x ydy??( ) ( )YXp y dy p x dx?()( ) ( ) [ ( ) ]Y X Xd x d f yp y p x p f yd y d y??f(y)是 g(x)的反函數(shù) 36 隨機變量函數(shù)的分布 ? 連續(xù)隨機變量的函數(shù) 若 y=g(x)為非單調(diào)函數(shù) ,如一個 Y對應兩個 X值 , 1 1 2 2( ) ( ) ( )Y X Xp y dy p x dx p x dx??1212( ) ( )( ) [ ( ) ] [ ( ) ]Y X Xd f y d f yp y p f y p f yd y d y??f(y)是 g(x)的反函數(shù) 37 隨機變量函數(shù)的分布 ? 例：設 X~N(0,1)，求 的密度函數(shù) 解：由 ，則 2YX? ? ?Yfy2 12, , , 0y x x y x y y? ? ? ?? ?? ? ? ?2 1 1 , 0220 , 1, 020 , XXYyf y f y yfy yyeyy?????? ??????? ???其 他其 他38 隨機變量函數(shù)的分布 設 為 n維隨機變量，已知其聯(lián)合分布 ，求 的 函數(shù) 的 聯(lián)合分布函數(shù) ： 12( , , , )nX X X12 12( , , , )nX X X np x x x12, , , nX X X1 1 1 22 2 1 212( , , , )( , , , )( , , , )nnk k nY g X X XY g X X XY g X X X??? ????? ??12 1 2 1 1 2 21 1 2 1 1 21 2 1 2( , , , ) { , , , }{ ( , , , ) , , ( , , , ) }( , , , )kY Y Y k k knn kknnDF y y y P Y y Y y Y yP g X X X y g X X X yf x x x d x d x d x? ? ? ?? ? ?? ?39 隨機變量函數(shù)的分布 其中，積分區(qū)間 D由不等式組 所決定。 若存在反函數(shù) 1 1 2 12 1 2 212( , , , )( , , , )( , , , )nnk n kg x x x yg x x x yg x x x y???????? ??1 1 1 22 2 1 212( , , , )( , , , )( , , , )nnk k nx f y y yx f y y yx f y y y???????? ??40 隨機變量函數(shù)的分布 1212121 1 1 2 1 21111( , , , )[ ( , , , ) , . . . , ( , , , ) ] nnY Y Y nX X X n n n nnnnnf y y yf x f y y y x f y y yffyyffyy?? ? ???????????? ??????????????41 隨機變量函數(shù)的分布 ? 例：設隨機變量 X~N(0,1)， Y~N(0,1)且相互獨立， ，試求 (1) 隨機變量 (U,V)的聯(lián)合概率密度； (2) 隨機變量 U與 V是否相互獨立？ 解：隨機變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 易得反函數(shù)為 ， ，從而隨機變 量 (U,V)的聯(lián)合概率密度為 U X YV X Y??????? ?22 2,1,2xyXYf x y e???22uvxuvy??????? ???1 / 2 1 / 2 1 / 21 / 2 1 / 2J ??? ?22 4,1,4uvUVf u v e???42 隨機變量的數(shù)字特征 為什么要引入數(shù)字特征 ? 常用數(shù)字特征有哪些 ? 數(shù)字特征表示的意義 ? 43 隨機變量的數(shù)字特征 ? 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性．但在一些實際問題中，不需要去全面考察隨機變量的整個變化情況，而只需知道隨機變量的某些統(tǒng)計特征．例如，在檢查一批棉