【文章內(nèi)容簡介】 可以證明（略）以上三條性質(zhì)是分布函數(shù)所具有的三條基本共同特性。 利用分布函數(shù)可求隨機變量落在某些區(qū)間上的概率，如 等等。 例3在前面打靶的例子中，已知X表示彈著點到靶心距離，并求得其分布函數(shù)為 于是便可以利用此分布函數(shù)，求出擊中靶上環(huán)形區(qū)域（見圖）的概率 隨機變量分類： 二 離散型隨機變量及其分布律167。1離散型隨機變量及其分布律的概念 定義：如果隨機變量X的所有可能取值為有限個或可列個，則稱隨機變量X為離散型隨機變量。 Xχ1χ2……χn……p…………設(shè)X的所有可能取值為χ1，χ2，……χn，……，則稱下列一組概率 P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,…… 為X的分布律。分布律也常常寫成表格形式性質(zhì)： 1。pi≥0,一切I； 2。 例1 設(shè)袋中裝著分別標有1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個球，現(xiàn)從袋中任取一球，令X表示取得球上所標的數(shù)字，求X的分布律。 X123p1/61/21/3 解： X的可能取值為1，2，3，且容易求得 故X的分布律為 例：相同條件下，獨立的向目標射擊4次，求擊中目標次數(shù)X的分布律 解： X的可能取值為0，1，2，3，4利用二項概率公式便可求得 X01234pX的分布律為例2 社會上定期發(fā)行某種獎券，每券一元，中獎率為p，某人每次買1張獎券，如果沒有中獎便繼續(xù)買一張，直到中獎為止。求該人購買獎券次數(shù)X的分布律。如果中獎率為1%，問他至少應(yīng)買多少張獎券才能以不少于99%的概率中獎。解：（1） 令A(yù)i={第i次購買的獎券中獎}，i=1,2,……X的分布律為X123……i……pp(1p)p(1p)2p……（1p）i1p……（2）設(shè)n為所需購買的獎券數(shù)，按題意P{X≤n}≥99%即 即 例4 某產(chǎn)品40件，其中有次品3件，現(xiàn)從中任取3件，（1）求取出的3件產(chǎn)品中所含次品數(shù)X的分布律；（2）求取出產(chǎn)品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函數(shù)F（x），并作其圖形。解：（1）X的可能取值為0，1，2，3，且有 于是X的分布律為X0123P（2）任取3件產(chǎn)品中至少含有一件次品的概率為P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=++= P{X≥1}=1－P{X＜1＝1－P{X=0}=1－=（3）由分布函數(shù)定義不難求得X的分布函數(shù)為 離散型隨機變量其分布函數(shù)的圖形有如下特點：(1)階梯形；（2）僅在其可能取值處有跳躍；（3）其躍度為此隨機變量在該處取值的概率。一般，若X的分布律為P{X=χi }=pi ,i=1,2,……，則X落在區(qū)間I內(nèi)的概率便為 從而，X的分布函數(shù)與分布律的關(guān)系便為 X01pqp167。2幾個重要分布 如果隨機變量X的分布律為 其中0p1,q=1p則稱X服從參數(shù)為p的(0－1)兩點分布,簡稱為兩點分布,記為X~B(1,p) 實際背景:在貝努里實驗中,設(shè)事件A的概率為p(0p1) 如果所定義的隨機變量X表示A發(fā)生的次數(shù)，即X01q=1ppqp顯然X的分布律為 即 X~B(1,p)例5 .一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任取一個進行檢查，若令X表示抽得廢品的數(shù)目，即X01p95%5% 則X~B(1,5%)即X的分布律為 如果隨機變量X的分布律為其中0＜p＜1, q=1－p,則稱X服從參數(shù)為（n,p）的二項分布，記為X~B（n,p） 實際背景：由第一章，獨立重復(fù)實驗一段中可知，在n重貝努里實驗中，如果每次實驗事件A出現(xiàn)的概率為p(0p1) ,則在n次獨立重復(fù)實驗中A恰好出現(xiàn)k(≤n)次的概率為 于是，在此n 重貝努里實驗中，如果定義隨機變量X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則有 即X~B(n,p)例6 某工廠每天用水量保持正常的概率為 ，求最近6天內(nèi)用水量正常天數(shù)X的分布律，并求用水量正常天數(shù)不少于5天的概率。解：由二項分布實際背景可知X~B（6， ），于是 即X的分布律為X0123456P用水量正常天數(shù)不少于5天的概率為例7 ，進行20次獨立重復(fù)抽樣。解：令X表示20次獨立重復(fù)抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù). X~B（20，） （注意：不能用X表示頻率，若X表示頻率，則它就不服從二項分布）所求的概率為 泊松定理 如果 , 則有近似公式：設(shè)n充分大, p足夠小(一般n≥10,p≤)時, 有 例8:利用近似公式計算前例中的概率.解:例9:有20臺同類設(shè)備由一人負責維修,且各臺設(shè)備工作是獨立的,?解: (1) 1人維修20臺設(shè)備. 令X表示某時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù). X~B(20,) 于是,發(fā)生故障而不能及時維修的概率為(2)3人維修80臺設(shè)備 假設(shè)X表示某時刻發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)，X~B（80，）于是，發(fā)生故障而不能及時維修的概率為 如果隨機變量X的分布律為 其中λ＞0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~π(λ) 或者X~P(λ)實際背景：滿足下列條件的隨機質(zhì)點流（一串重復(fù)出現(xiàn)的事件）稱為泊松流。 （1）在時間 內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與t無關(guān)； (2)不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點數(shù)彼此獨立； (3)在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點流過，要流過2個或2個以上質(zhì)點幾乎是不可能的?？梢宰C明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點數(shù)便服從泊松分布。 例如：單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼喚次數(shù)； 單位時間內(nèi)走進商店的顧客數(shù)等等；均可認為它們服從泊松分布。 例10：設(shè) 且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4} 解：由于 ，即X的分布律為 于是有 由條件 P{X=1}=P{X=2} 可得方程 即 即 解得 λ=2，0（棄去） 所以 于是 例11：設(shè)電話交換臺每分鐘接到的呼喚次數(shù)X服從參數(shù)λ=3的泊松分布。（1）求在一分鐘內(nèi)接到超7次呼喚的概率；（2）若一分鐘內(nèi)一次呼喚需要占用一條線路。求該交換臺至少要設(shè)置多少條線路才能以不低于90%的概率使用戶得到及時服務(wù)。 解：（1） ，其分布律為 于是，在一分鐘內(nèi)接到超過7次呼喚的概率為 （2）設(shè)所需設(shè)備的線路為K條，按題意應(yīng)有 P{X≤K}≥90% 即 P{X≤K}=1P{X＞K}=1P{X≥K+1}≥ 即 P{X≥K+1}≤ 查表得 P{X≥6}= 而P{X≥5}= ,故應(yīng)取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要設(shè)置5條線路才能符合要求。三 連續(xù)型隨機變量及其概率密度167。1連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念 所謂連續(xù)型隨機變量是指此隨機變量的可能取值至少應(yīng)充滿某個區(qū)間且其分布函數(shù)應(yīng)當是連續(xù)的，連續(xù)型隨機變量X有以下特點：(1) 對任意實數(shù)x， 事實上，；(2)下面建立連續(xù)型隨機變量X在實數(shù)x處的概率密度（概念的引入）首先，考慮X落在區(qū)間 內(nèi)的概率其次，求出X落在區(qū)間 內(nèi)的平均概率密度最后，令 便得到X在x處的概率密度令 ，從而便有 設(shè) 為隨機變量X的分布函數(shù)，如果存在非負函數(shù) 使得對任意實數(shù)x,有 ，則稱X為連續(xù)型隨機變量， 為X的概率密度。 性質(zhì) 一切x； 事實上由于 ， 事實上， （1） ，表明密度曲線 在x軸上方；（2） 表明密度曲線 與x軸所夾圖形的面積為1；（3） 表明X落在區(qū)間（a,b）內(nèi)的概率等于以區(qū)間（a,b）為底，以密度曲線 為頂?shù)那吿菪蚊娣e。： 例1：已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求系數(shù)k及分布函數(shù)F（χ），并計算概率P{X} 解: (1) 解得k =1/2.于是X的概率密度為 （2）當 當 時，當 時， 總之， （3） ，其概率密度為某儀器內(nèi)裝有三個這樣電子管，試求使用150小時內(nèi)只有一個電子管需要換的概率。解：首先計算一個電子管使用壽命不超過150小時的概率，此概率為 令Y表示工作150小時內(nèi)損壞的電子管數(shù)，則 Y服從二項分布 于是，此儀器工作150小時內(nèi)僅需要更換一個電子管的概率167。2幾個重要分布 1． 均勻分布 如果隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間[a,b ]上服從均勻分布，記為X~U[a,b]；其分布函數(shù)為實際背景：如果實驗中所定義的隨機變量X僅在一個有限區(qū)間[a,b]上取值，且在其內(nèi)取值具有“等可能”性，則X~U[a,b]。:00起每隔15分鐘有一趟班車經(jīng)過某車站,即7:00,7:15,7:30,…時刻有班車到達此車站,如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到達此車站候車,問他等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率。解：設(shè)乘客于7點過X分鐘到達車站，則X~U[0,30],即其概率密度為于是該乘客等候不超過5分鐘便能乘上汽車的概率為 2．指數(shù)分布 如果隨機變量X的概率密度為其中 ，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~E(λ)，其分布函數(shù)為實際背景：在實踐中，如果隨機變量X表示某一隨機事件發(fā)生所需等待的時間，則一般X~E(λ)。例如，某電子元件直到損壞所需的時間（即壽命）；隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間；在某郵局等候服務(wù)的等候時間等等均可認為是服從指數(shù)分布。=， （1） 求 ；（2） 若要使 問x應(yīng)當在哪個范圍內(nèi)？解：由于X~E()即其概率密度為 于是，（1） （2）要使 即 取對數(shù)，便得 于是便解得 （高斯分布）△如果隨機變量X的概率密度為其中 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù) 的正態(tài)分布，記為X~N ?！鲗嶋H背景：在實踐中，如果隨機變量X表示許許多多均勻微小隨機因素的總效應(yīng)，則它通常將近似地服從正態(tài)分布，如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點的位置；噪聲電壓；產(chǎn)品的尺寸等等均可認為近似地服從正態(tài)分布?！髡龖B(tài)密度曲線： 參數(shù) 對密度曲線的影響開拓思路：怎樣利用導數(shù)作圖？(1)當 不變 改變時，密度曲線 形狀不變，但位置要沿x軸方向左，右平移。（實際上就是落在曲邊梯形內(nèi)部的平均概率）(2)當μ不變 改變時， 變大，曲線變平坦； 變小，曲線變尖窄△分布函數(shù)： （積分是存在的，但是不能用初等函數(shù)表示）△標準正態(tài)分布： 稱 的正態(tài)分布N(0,1)為標準正態(tài)分布，其概率密度為；分布函數(shù)為（其值有表可查）變量替換，積分限變化公式 證： ~ N(0,1) 求 解： ~N(0,1),要使 問λ應(yīng)為何值？解：由于 即 反查表，便得 ： 若 ）,其分布函數(shù)為F(X)，則有 證： = ： 如果 則 事實上，由 立即可得例7. 設(shè) 試求 解： 例8 從某地乘車前往火車站搭火車，有兩條路可走（1）走市區(qū)路程短，但交通擁擠，所需時間 ，(2)走郊區(qū)路程長，但意外阻塞少，所需時間 。 問若有70分鐘可用，應(yīng)走哪條路線？解：走市區(qū)及時趕上火車的概率為走郊區(qū)及時趕上火車的概率為 ；故應(yīng)走郊區(qū)路線。 如果還有65分鐘可用情況又如何呢？ 同樣計算，走市區(qū)及時趕上火車的概率為 而走郊區(qū)及時趕上火車的概率便為 此時便應(yīng)改走市區(qū)路線。四 隨機變量函數(shù)的分布167。1離散型隨機變量的情況 所謂隨機變量X的函數(shù)是指Y也是一個隨機變量，且每當X取值為χ時， Y的取值便為例如，車床車軸，若令X表示車出軸的直徑，Y表示車出軸的橫斷面積，則 問題：已知X的分布，求的分布。X10125/2P2/101/101/103/103/10例 1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為求（1）Y=X1，（2）的分布律解：（1）由隨機變量函數(shù)的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，見下表：Y=X121013/2X10125/2P2/101/101/103/103/10Y=X121013/2P2/101/101/103/103/10 于是便得Y的分布律 （2）Y=2X2的可能值由下表給出Y=2X2202825/2X10125/2P2/101/101/103/103/10由于Y的值有相同的，即2 ，因此應(yīng)將其合并，相應(yīng)的概率應(yīng)按概率的可加性進行相加，即Y=2X225/2820P3/103/103/101/10最后，得 Y的分布律為167。2連續(xù)型隨機變量的情況 “分布函數(shù)法”——先求Y=g(x)的分布函數(shù)，然后再求導便可得到Y(jié)的概率密度例 2 設(shè)隨機變量X的概率密度為 ，試求X的線性函數(shù) [ 為常數(shù)] 的概率密度 解：Y的分布函數(shù) （分布函數(shù)的定義）當 時 于是 （注意復(fù)合函數(shù)求導）當 時，于是， 以上 兩種情況所得結(jié)果可以合并為如下形式 特別，當 時，則運用上述結(jié)果便可得線性變換 的概率密度為 此結(jié)果證明：正態(tài)分布的隨機變量經(jīng)線性變換后，仍是服從正態(tài)分布的隨機變量特別，取 代入上面結(jié)果便得Y的分布為 即Y~N(0,1) 稱 為標準化變換例 3 證X~N(0,1),求 的概率密度 （非線性）解：Y的分布函數(shù) 當y0時， 于是當 從而 總之 例5設(shè)電流I為隨機變量，它在9（安培）~11（安培）之間均勻分布，若此電流通過2歐姆電阻， 求在此電阻上消耗功率 的概率密度解：W的分布函數(shù)為 兩邊求