近代概率論基礎第一章概率空間(編輯修改稿)
2025-05-27 12:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 是某些樣本點組成的集合，事件之間的運算也就是集合運算 。 前蘇聯(lián)學者科爾莫哥洛父于 1933年在 《 概率論基礎概念 》 一書中，用 公理化的方法與集合論的觀點成功地解決了這一問題，提出了 概率空間 的概念。 但是，并沒有對 事件的集合 進行限制。對于事件，一個很明顯的要求就是 所有事件組成的集合對于并、交、余這三種運算封閉 。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、概率空間及其三要素 樣本空間 是一非空集合，稱為樣本空間；其中的元素稱為 樣本點 ，相應于隨機試驗的結(jié)果。 ? 與可測空間 F 我們把 事件 A定義為 的一個子集，它包含若干樣本點，事件 A發(fā)生當且僅當 A 所包含的樣本點中有一個發(fā)生。 ? 一般并不把 的一切子集都作為事件，因為這將對給定概率帶來困難。 同時 ，又必須把問題中感興趣的事件都包括進來，因為事件的交、余、并等也應該為事件，也應該有相應的概率。 ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 是由樣本空間 的一些子集構(gòu)成的一個 域，則稱它為 事件域 ， 中的元素稱為 事件 ， 稱為 必然事件 ， 稱為 不可能事件 。 F??F??F ? 于是，我們把事件的全體記為 ，它是由 的某些子集構(gòu)成的 集類 ，并且還應滿足下面的 條件 ： ( i) 。?? F( i i ) 。AA??F F 。如 果 ， 那 么 ? ?稱滿足上述條件的集類為 域 ，也稱 代數(shù) 。 1( ii i) 1 , 2 , , 。nnnA n A??? ? ?F F 。如 果 ， 那 么 很顯然，根據(jù)定義，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的 有限及可列交、并 也都在事件域中。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1： { , }? ? ?F 為一 域。 ?例 2： { , , , }AA? ? ?F 為一 域。 ?例 3 1{ , , },n???? F 是由 的一切子集構(gòu)成。 ?這時， 是一個有限的集合。共有元素 2n 個。 F為一 域。 ?F例 4 F 為一 域。 ?可以驗證 對于一般的 ，若 由 的一切子集構(gòu)成。 ? ?F注： 事件域可以很簡單，也可以十分復雜，要根據(jù) 問題的不同要求 來選擇適當?shù)氖录颉? 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 命題 給定 的一個非空集類 ， 必然存在唯一的 一個 中的 域 ，滿足：（ 1）包含 ，（ 2）若有其它 域包含 ，則必包含 。 ? A? ? ()m A A? A ()m A()m A 稱為包含 的最小 域，或由 產(chǎn)生的 域 。 A? ?A一維博雷爾 (Borel)點集 以后，用 記數(shù)直線或?qū)崝?shù)全體，用 記 n 維歐幾里得（ Euclid）空間。 1R nR 由一切形為 [a, b)的有界左閉右開區(qū)間構(gòu)成的集類所產(chǎn)生的 域稱為一維博雷爾 域，記為 ， 中的集合稱為一維博雷爾點集。 ? ? 1B1B n 維博雷爾點集 由一切 n 維矩形產(chǎn)生的 n 維博雷爾 域。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 x, y表示任意實數(shù)，由于 11{ } [ , )nx x xn???? ( , ) [ , ) { }x y x y x??[ , ] [ , ) { }x y x y y?? ( , ] [ , ) { } { }x y x y y x? ? ? 因此， 中包含一切開區(qū)間，閉區(qū)間，單個實數(shù)，可列個實數(shù)，以及由它們經(jīng)可列次并、交運算而得出的集合 。這是一個相當大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點集都包括在內(nèi)。 同樣， 也是一個相當大的集合，足夠把實際問題中感興趣的點集都包括在內(nèi)。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 概率 P與概率空間 （ i） 概率 P 為定義在事件域 上的函數(shù) ，即它是一個從 到 的映射： ，且它滿足 （ ii） 性質(zhì)（ iii）稱為 可列可加性或完全可加性 。 （ iii）若 且兩兩互不相容，則 稱這樣的 P為可測空間 上的一個概率測度 ，簡稱為 概率 。 稱為概率空間 。 ( , )? F( , , )P? F機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可以推出，概率測度 P有以下性質(zhì) ： 01 ? ? 0P ??? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2nnP A A A P A P A P A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?02 有限可加性 即若 ，則 ijAA ??03 ? ? 1 ( )P A P A??04 ? ? ? ? ? ?P B A P B P A? ? ?若 ，則 AB?? ?0, 1A PA? ??? ?有② ① ? ? ? ?,A B P A P B??如 果 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 概率的加法公式 布爾不等式 Bonferroni不等式 加法公式的推廣 提示：可用歸納法證明 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用上面的公式來作概率的計算，常能使解題思路清晰，計算便捷。 例 5（ 匹配問題） 某人寫好 n 封信，又寫好 n 只信封， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，試求至少有一封信放對的概率。 解： 若以 Ai 記第 i 封信與信封符合，則所求的事件為 12 nA A A不難求得 ( 1 ) ! 1( ) ,!inPAnn??? ( 2 ) ! 1( ) ,! ( 1 )ij nP A A n n n??? ?( 3 ) ! 1( ) ,! ( 1 ) ( 2
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