【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??? 21 nn nn m ?? k iik ,( ii nk ? ),2,1 mi ?? kkkk m ???? ?21????????????????????????mmknknkn ?2211種不同的取法 ． i ),2,1( min i ?? 例 4 袋中裝有 5個(gè)白球 3個(gè)黑球 ， 從中任取兩球 ， 求兩球都是白球的概率 ． 解 設(shè) 表示事件 “ 取出的兩球都是白球 ” ，基本事件總數(shù)為 ， A??????? 28n 所包含的基本事件數(shù)為 ， A ???????25An則由古典概率得 ． 145)( ??nnAP A 例 5 設(shè)某一箱子裝有同種類型的電子元件 100個(gè) ， 其中有 95個(gè)合格品 ， 5個(gè)不合格品 ． 從箱子中任取 4個(gè)電子元件 ， 問其中恰有 1個(gè)不合格品的概率是多少 ？ 解 設(shè) 表示事件 “ 取基本事件總數(shù)為．所包含的基本事件數(shù)為，出的 4個(gè)元件中恰有 1個(gè)不合格品 ” ． A 基本事件總數(shù)為 ． 所包含的基本事件數(shù)為 ， ????????? 4100n A ??????????????? 39515An 則由古典概率得 ． 1 7 41 0 039515)( ?????????????????????????nnAP A 例 6 從 1, 2,… , 10這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè) ， 問大小在中間的數(shù)字恰好為 5的概率是多少 ？ 解 設(shè) 表示事件 “ 取出的三個(gè)數(shù)字大小在中間的數(shù)字恰好為 5”． A 基本事件總 數(shù)為 ， 所包含的基本事件數(shù)為 ， ????????? 310n A ??????????????????? 151114An因此所求概率為 ． 61310151114)( ????????????????????????????AP 例 7 設(shè)某城市共有 輛汽車 ， 車牌號(hào)碼從 1到 ， 有一個(gè)人將他所遇到的該 城市的 輛汽車的車牌號(hào)碼 (可能有重復(fù)的號(hào)碼 )全部抄下來 ， 假設(shè)每輛汽車 被遇到的機(jī)會(huì)相同 ， 求抄到的最大號(hào)碼恰好為 (1≤ ≤ )的概率 ． N Nnkk N 解 這種抄法可以看作是從 個(gè)不同的號(hào)碼中允許重復(fù)地抽取 個(gè)號(hào)碼的排列，共有 種可能的取法，這是基本事件的總數(shù)． N 因?yàn)樽畲筌嚺铺?hào)碼不大于 的取法共有 種，而最大車牌號(hào)碼不大于 的取法共有 種，因此最大車牌號(hào)碼正好是 的取法共有 種． k1?k nk )1( ?k nn kk )1( ??nnknN設(shè) 表示事件 “ 抄到的最大車牌號(hào)碼正好為 ” ， 則有 ． A knnnNkkAP )1()( ??? 例 8 將 15名新生 (其中有 3名優(yōu)秀生 )隨機(jī)地分配到三個(gè)班級(jí)去 ， 其中一班 4名 ，二班 5名 ， 三班 6名 ． (1)求每一個(gè)班級(jí)各分到一名優(yōu)秀生的概率； (2)求 3名優(yōu)秀生都分到二班的概率 ． !6!2!4!12?Bn (2)設(shè) 表示事件 “ 3名優(yōu)秀生都分到二班 ” ， 所包含的基本事件數(shù) ， 則有 ． B B0 2 1 9 )( ??? nnBP B 解 基本事件總數(shù)為 ． (1)設(shè) 表示事件 “ 每一個(gè)班級(jí)各分到一名優(yōu)秀生 ” ， 所包含的基本事件為 ,則有 ． A!5!4!3!12!3?An 24)( ???nnAP AA!6!5!4!15?n 例 9 一個(gè)班級(jí)有 30人 ， 要用抽簽的辦法分配 5張電影票 ， 問第 1人抽到電影 票和第 30個(gè)人抽到電影票的概率各為多少 ？ 解 設(shè) 表示事件 “ 第 1人抽到電影票 ” ， 表示事件 “ 第 30個(gè)人抽到電影票 ” ． A B 完成事件 可以看作分成兩個(gè)步驟，第一步：從 5張電影票中留 1張給第 1人，有 5種方法； A 第二步：其余 29人任意抽一個(gè)簽 ， 有 29！ 種方法 ， 于是可知 所包含的基 本事件數(shù)為 ， ． A!295 ??An61)( ??nnAP A 完成事件 也可以看作分成兩個(gè)步驟 ， 即留 1張電影票給第 30個(gè)人 ， 而前 29人從 29個(gè)簽中各任取 1個(gè) ， 因此 所包含的基本事件數(shù)為 ， ． BB!29?Bn61)( ??nnBP B此例說明 ， 抽簽的問題 ， 先抽與后抽中簽的可能性相等 ． 4． 古典概率的基本性質(zhì) 設(shè) 為等可能概型 ， 基本空間為 ， ， 為 中的事件 ． E ? mAAA , 21 ? A E 性質(zhì) 1 0≤ ≤1． )(AP 證 所包含的基本事件數(shù) 滿足 0≤ ≤ ， 故有 0≤ ≤1． A AnAn nnnAP A?)( 性質(zhì) 2 =1． 證 必然事件 所包含的基本事件數(shù) 恰好是基本事件總數(shù) ， 所以 )(?P? n1)( ?? nnP ? 性質(zhì) 3 若 互不相容 ， 則有 ，或者寫成 ． ??? ????????? miimii APAP11)(? ????????????? miimii APAP11)(mAAA , 21 ? 證 設(shè) Ai包含 ki (ki ≤n,I=1,2,…,m) 個(gè)基本事件 ,故 ,i=1,2,….,m, nkiAip ?)( 由于 互不相容 ， 故事件 包含 個(gè)不同的基本事件 ， 所以 mAAA , 21 ? ?miiA1???miik1?????????????????? miimiimiimii APnkknAP 1111 )(1? 三 、 幾何概型 幾何概型 ：如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相當(dāng)于從直線 、 平面或空間的某一區(qū)域 上任取一點(diǎn) ， 而所取的點(diǎn)落在區(qū)域中任意兩個(gè)度量 (長(zhǎng)度 、 面積 、 體積 )相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是相等的 ， 則稱此試驗(yàn)為 幾何概型 ． ? 對(duì)于任何有度量的子區(qū)域 ， 我們同時(shí)以 表示事件 “ 任取一點(diǎn)落在區(qū)域 內(nèi) ” ， 定義事件 的概率為 ??AAAA ， 的度量的度量?AAP ?)(這樣定義的概率稱為 幾何概率 ． O y x+y=1 xy=2/9 1/3 2/3 x 例 10 任取兩個(gè)不大于 1的正數(shù) ， 試求其積大于 ， 且其和不大于 1的概率 ． 92 解 設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為 、 ， 0≤ ≤1， 0≤ ≤1， 為平面上一點(diǎn)，所有點(diǎn)的集合構(gòu)成基本空間 ，即圖中的正方形區(qū)域，其面積為 ， x yx y ),( yx? 1?S 設(shè) 表示事件 “ 兩數(shù)之積大于 ， 之和不大于 1”， 即 表示圖中陰影部分 ， 其面積為 ． A92 A2ln9261d)9 21(3/2 3/1 ????? ? xxxS A因此 2ln9261)( ??? SSAP A 例 11 (蒲豐投針問題 )在平面上畫有等距離的平行線 ， 平行線間的距離為 ， 向平面任意投擲一枚長(zhǎng)為 的圓柱形的針 ， 試求此針與任一平行線相交的概率 ． )0(2 ?aa )(2 all ? 解 以 表示針的中點(diǎn) ， 以 表示針投在平面上之后點(diǎn) 到最近的一條平行線的距離 ， 以 表示針與此直線的交角 (如圖 )， 易知有 0≤ ≤ ， 0≤ ≤ ， MxM?xa??M x ?2a 由這兩式確定出 平面上的一個(gè)矩形區(qū)域 ． 針與最近的一條平行線相交的充分必要條件是 ox? ?≤ （ ≥0）， x?sinlx 由這個(gè)不等式確定的區(qū)域記作 ，如圖中的陰影部分，同時(shí)以 表示事件“針與最近一條平行線相交”． AA于是得所求的概率為 ． alaπl(wèi)AAP ?????2ds i n)( 0 ??? ?的面積的面積x a O π ?x=lsin Ω ? 如果 與 為已知 ， 則以 值代入上式就可以算得 ． 反之 ， 也可 以利 用上式去求 的近似值 ， 如果投針 次 ， 其中針與平行線相交 次 ， 我 們就以頻率 代替 ， 代入上式可得 ． l a?)(AP?N nNn )(APanlN2?? 歷史上有一些學(xué)者曾做過這個(gè)試驗(yàn)．例如， Wolf在 1850年投針 5000次，得到 的近似值為 ； ? Smith在 1855年投針 3204次，得到 的近似值為 ；