【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 8 遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案如：可靠性壽命檢驗(yàn)、可靠性維護(hù)、可靠性設(shè)計(jì)等。課后作業(yè)：仔細(xì)閱讀P1225；作業(yè)：P32 26, 27, 28, 29, 34；預(yù)習(xí)P2528167。 獨(dú)立性一般來(lái)說(shuō)，P(A/B)185。P(A),(P(B)0))這表明事件B的發(fā)生提供了一些信息影響了事件A發(fā)生的概率。但是有些情況下，P（A/B）＝P（A），從這可以想象得到這必定是事件B的發(fā)生對(duì)A的發(fā)生不產(chǎn)生任何影響，或不提供任何信息，也即：事件A與B是‘無(wú)關(guān)’的。從概率上講，這就是事件A、B相互獨(dú)立。：若兩事件A，B滿(mǎn)足P(AB)=P(A)P(B)，則稱(chēng)A與B相互獨(dú)立。注：①定義中，當(dāng)P(B)=0或P(B)=1時(shí)，仍然適用，即F,W與任何事件相互獨(dú)立；②事件的獨(dú)立與事件的互不相容是兩個(gè)不同的概念：前者是相對(duì)于概率的概念，但可以同時(shí)發(fā)生；而后者只是說(shuō)兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，與概率無(wú)關(guān)。例1：投擲兩枚均勻的骰子一次，求出現(xiàn)雙6點(diǎn)的概率。遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案解：設(shè) A‘第一枚骰子出現(xiàn)6’；B‘第二枚骰子出現(xiàn)6’ 則P(AB)=P(A)P(B)=111= 6636我們知道，對(duì)于分別擲兩顆骰子，其出現(xiàn)6點(diǎn)相互之間能有什么影響呢？不用計(jì)算也能肯定它們是相互獨(dú)立的。在概率論的實(shí)際應(yīng)用中，人們常常利用這種直覺(jué)來(lái)肯定事件的相互獨(dú)立性，從而使問(wèn)題和計(jì)算都得到簡(jiǎn)化，但并不是所有的問(wèn)題都是那么容易判斷的，看下面一個(gè)例子：例2：一家中有若干個(gè)小孩，假定生男生女是等可能的，令A(yù)={家中男、女孩都有}，B={家中至多有一女孩} ①考慮三個(gè)孩子的家庭：W={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b),(g,b,b),(g,b,g),(g,g,b),(b,g,g),(g,g,g)}，則P(AB)=3/8=64=P(A)P(B)222。A、B相互獨(dú)立。88②考慮兩孩子的家庭：W={(b,b),(b,g),(g,b),(g,g)}，則P(AB)=2/4，P(A)=2/4，P(B)=3/4，P(AB)185。P(A)P(B)222。A、B不相互獨(dú)立。定理1：若P（B）＞0，則A、B相互獨(dú)立219。P（A/B）＝P（A）。結(jié)論：若A、B獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立。例3：甲、乙二人同時(shí)向同一目標(biāo)射擊一次，，求在一次射擊中，目標(biāo)被擊中的概率。解：設(shè)A＝{甲擊中}，B＝{乙擊中}，C＝{目標(biāo)被擊中}，則C＝A200。B P(C)=P(A200。B)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(B)=+180。=或P(C)=1P(C)=1P(A200。B)=1P(AB)=1P(A)P(B)=1()()=思考：若P（A）＞0，P（B）＞0，且P(A/B)+P(A/B)=1,則A、B相互獨(dú)立。遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案定義1：對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若下列四個(gè)等式同時(shí)成立P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），則稱(chēng)A、B、C相互獨(dú)立。注：①對(duì)于兩個(gè)以上的事件時(shí)，事件的兩兩獨(dú)立不能推出總起來(lái)相互獨(dú)立。反例1：有四張同樣大小的卡片，上面標(biāo)有數(shù)字，從中任抽一張，每張被抽到的概率相同。分析：令A(yù)i＝{抽到卡片上有數(shù)字i}, i=1,2,3，則： P（Ai）＝2/4＝1/2，即P（A1）＝P（A2）＝P（A3）而P（A1A2）＝1/4＝P（A1）P（A2）；P（A1A3）＝1/4＝P（A1）P（A3）； P（A2A3）＝1/4＝P（A2）P（A3）可見(jiàn)Ai兩兩之間是獨(dú)立的，但是總起來(lái)看P(A1A2A3)=1/4185。P(A1)P(A2)P(A3)=1/8 并不相互獨(dú)立。②對(duì)于兩個(gè)以上的事件時(shí)，總起來(lái)相互獨(dú)立也不能推出事件的兩兩獨(dú)立。反例2：八張同樣大小的卡片，任抽一張。分析：P(Ai)=4/8=1/2,i=1,2,(A1A2A2)=1/8=P(A1)P(A2)P(A3)但P(A1A2)=3/8185。P(A1)P(A2)因此對(duì)多個(gè)事件的獨(dú)立性要求比較嚴(yán)格。定義2：對(duì)任意n個(gè)事件，A1,A2,..,An，若： P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),1163。ij163。nP(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak),1163。ijk163。n遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案KKP(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An)（共2nn1個(gè)式子）均勻成立，則稱(chēng)A1,A2,..,An相互獨(dú)立。例4：用步槍射擊飛機(jī)，求：①現(xiàn)用250支步槍同時(shí)射擊一次，飛機(jī)被擊中的概率；②，需要多少支步槍同時(shí)射擊？ 解：①Ai‘第i支擊中’,則要求P(A1200。A2200。...200。An)而P(A1200。A2200。...200。An)=1P(A1200。A2200。...200。An)=1P(A1A2...An)=1P(A1)P(A2)...P(An)＝1－187。 ②179。187。1150五、獨(dú)立性在系統(tǒng)可靠性中的應(yīng)用元件的可靠性：對(duì)于一個(gè)元件，它能正常工作的概率稱(chēng)為元件的可靠性。系統(tǒng)的可靠性：對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，它能正常工作的概率稱(chēng)為系統(tǒng)的可靠性。例5：設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r，0r1且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的，求下面附加通路系統(tǒng)的可靠性：解：每條通路正常工作，當(dāng)且僅當(dāng)通路上各元件 正常工作，其可靠性為Rc=P(A1A2...An)=P(A1)P(A2)...P(An)=rn，即每條通路發(fā)生故障的概率為1rn； 由于系統(tǒng)是由兩條通路并聯(lián)而成，則兩通路同時(shí)發(fā)生故障的概率為(1rn)2，所以上述系統(tǒng)的可靠性為Rs=1(1rn)2=rn(2rn)=Rc(2Rc)=Rc+2Rc，2QRc1\RsRc故附加通路能使系統(tǒng)的可靠性增加。遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案課后作業(yè)：仔細(xì)閱讀P2528；作業(yè)：P32 30, 31, 32, 33；預(yù)習(xí)P3444 23第二篇：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》公共基礎(chǔ)課教學(xué)實(shí)踐101250231 湯建波概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在現(xiàn)實(shí)的牛產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，因此，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作為公共課是很多專(zhuān)業(yè)所必修的。但是，由于這門(mén)課的學(xué)習(xí)方法與《微積分》《線性代數(shù)》等其他課程有著極大的差異，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到難以把握概念與理論，在遇到問(wèn)題時(shí)不知如何人手。因此，筆者在總結(jié)這幾年教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出以下思考。一、適度引入案例。形成生動(dòng)教學(xué)及啟發(fā)性教學(xué)概率論源于博弈，是賭博中的很多問(wèn)題催生了概率論這門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科。在開(kāi)課伊始，教師就適度引入觸發(fā)概率論的一些問(wèn)題，如“De．mere”問(wèn)題，“分賭金問(wèn)題”等等，使學(xué)生在故事中不僅得到r課本里所沒(méi)有的歷史知識(shí)，而且無(wú)形中可以提高學(xué)習(xí)興趣，消弭一部分同學(xué)的畏難情緒。另外，再在隨后的教學(xué)過(guò)程中引入“彩票中獎(jiǎng)問(wèn)題”“蒙特卡羅法求訂法”“保險(xiǎn)付賠問(wèn)題”等等，引導(dǎo)學(xué)生了解、探索這門(mén)學(xué)科在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用，使學(xué)乍實(shí)現(xiàn)由知識(shí)向能力的轉(zhuǎn)化，從而增強(qiáng)學(xué)，F(xiàn)利用概率統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問(wèn)題的“欲望”，促使他們更好地認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界。概念是概率課程中最基本的內(nèi)容，對(duì)概念的理解程度直接影響學(xué)生對(duì)這門(mén)課程的學(xué)習(xí)與掌握程度。在教學(xué)中，應(yīng)盡量從實(shí)際問(wèn)題入手，先提出問(wèn)題，接著在問(wèn)題的分析和解決中抽象出概念，讓學(xué)生清楚概念的來(lái)龍去脈，而不是硬性給出定義，讓學(xué)生死記硬背。例如，在講述“事件”這個(gè)定義時(shí)，引入“衛(wèi)瞿嫦娥二號(hào)將于2010年10月1日發(fā)射”這一現(xiàn)實(shí)中的“事件”在概率論中應(yīng)該是“實(shí)驗(yàn)”，而其結(jié)果“發(fā)射成功”才能算是概率論所定義的“事件”，這樣，在區(qū)別現(xiàn)實(shí)的“事件”與概率論所研究的“事件”基礎(chǔ)上，學(xué)生加深了對(duì)“事件”這一定義的理解。在闡明相互獨(dú)立和互不相容之間的區(qū)別有P(A)0，P(B)0時(shí)，A、B相瓦獨(dú)屯與互不相容是不能同時(shí)成立的，直觀上可以這樣解釋?zhuān)合嗷オ?dú)立意味這B其中一方發(fā)生與否并不影響另一方的發(fā)生，而互不相容意味著A、B只要其中一方發(fā)生了，另一方就一定不發(fā)生，所以這兩個(gè)關(guān)系不能同時(shí)存在。從公式上解釋是：P(A)0，P(B)0且A、B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)0，而如果A、B互不相容，則P(AB)=P(西)=0。但是只要有一方的概率為0，如，如果A=西，則A與B既相互獨(dú)立又互不相容，因?yàn)榇藭r(shí)P(AB)=P(A)P(B)=0。綜上所述，相互獨(dú)立與互不相容并沒(méi)有必然的聯(lián)系。而在區(qū)別“不相關(guān)”與“相互獨(dú)立”的區(qū)別時(shí)，可以通過(guò)舉例得知J]|f、y不相關(guān)不一定就獨(dú)立，因?yàn)閄、l，之間有可能存在其他的函數(shù)關(guān)系，但是存在函數(shù)關(guān)系的隨機(jī)變量是否就不獨(dú)立了呢？答案是未必，例子如下：考察隨機(jī)變量X、l，和Z：假定x與l，獨(dú)立月．都服從參數(shù)為P的(0—1)分布，令z為x與y的函數(shù)：可以得到當(dāng)P=1／2時(shí)，Z與X相互獨(dú)立。轉(zhuǎn)載于 無(wú)憂論文網(wǎng) 通過(guò)這些舉例，避免了學(xué)生將“獨(dú)立”和“互不相容”等同起來(lái)，又說(shuō)明了“獨(dú)立”與“函數(shù)關(guān)系”之間的聯(lián)系。二、課堂教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想的教育。培養(yǎng)學(xué)生建模能力概率統(tǒng)計(jì)中的很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為同一類(lèi)問(wèn)題，數(shù)學(xué)模型就是這類(lèi)事物共同本質(zhì)的抽象?！皵?shù)學(xué)建?！笔侵笇?duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用隨處可見(jiàn)，模型化方法貫穿本課程全過(guò)程，因此，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生抽象出問(wèn)題的本質(zhì)以建立起一般的數(shù)學(xué)模型的能力。如“將n只球隨機(jī)地放入Ⅳ(N大于等于n)個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率”與“班級(jí)同學(xué)生日各不相同”具有相同的數(shù)學(xué)模型。另外，還有古典概型、貝努利概型、正態(tài)分布等等這些都是生產(chǎn)生活中抽象出來(lái)的，在很多問(wèn)題中都可以歸結(jié)為以上的模型。如以下兩個(gè)：例1，設(shè)有80臺(tái)同類(lèi)型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0．01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。例2，保險(xiǎn)公司在一天內(nèi)承保了5000張相同年齡、為期1年的壽險(xiǎn)保單，每人一份。在合同有效期內(nèi)若投保人死亡，則公司賠付3萬(wàn)元。設(shè)在一年內(nèi)，該年齡段的死亡率為0．0015，且各個(gè)投保人是否死亡相互獨(dú)立。求該公司對(duì)于這批投保人的賠付總額不超過(guò)30萬(wàn)元的概率。以上兩個(gè)例子雖然不同，但都可以歸結(jié)為伯努利概型，利用二項(xiàng)分布解決。對(duì)這類(lèi)模型，不應(yīng)簡(jiǎn)單地給出它的結(jié)果，而應(yīng)注秀模型的建立、模型的應(yīng)用范圍以及如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)的數(shù)學(xué)模型去解決。三、適度引入多媒體教學(xué)及數(shù)據(jù)處理軟件。促進(jìn)課堂教學(xué)手段多樣化在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，實(shí)際題目信息及文字很多，“一支粉筆、一塊黑板，以講授為主”的傳統(tǒng)教學(xué)方法顯然已經(jīng)跟不上現(xiàn)代化的教學(xué)要求，不利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力。因此，有必要借助于現(xiàn)代化媒體技術(shù)和統(tǒng)計(jì)軟件，制作內(nèi)容、圖形、聲音、圖像等結(jié)合起來(lái)的多媒體課件。～方面，采用多媒體教學(xué)手段進(jìn)行輔助教學(xué)，能夠?qū)⒔處煆暮芏嘀貜?fù)性的勞動(dòng)中解脫出來(lái)，教師可以將更多的精力和時(shí)間投入到如何分析和解釋問(wèn)題，以提高課堂效率，與學(xué)生有效地進(jìn)行課堂交流。另一方面，用圖形動(dòng)畫(huà)和模擬實(shí)驗(yàn)等多媒體作為輔助教學(xué)手段，便于學(xué)生對(duì)概念、圖形等的理解。如投幣試驗(yàn)、高爾頓板釘實(shí)驗(yàn)等小動(dòng)畫(huà)在不占用太多課堂時(shí)間的同時(shí)，又增添了課堂的趣味性。又如在利用Mathematica軟件演示大數(shù)定律和中心極限定理時(shí)，就能將抽象的定理化為形象的直觀認(rèn)識(shí)，達(dá)到一定的教學(xué)效果。在處理概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中，教師也會(huì)面對(duì)大量的數(shù)據(jù)，另外，集數(shù)學(xué)計(jì)算、處理與分析為一身的數(shù)據(jù)處理軟件如：Excel，Matlab，Mathematic，SAS，SPSS等，在計(jì)算一些冗長(zhǎng)數(shù)據(jù)時(shí)可以簡(jiǎn)化計(jì)算，降低理論難度。而且，在教師的演示過(guò)程中，能讓學(xué)生初步了解如何應(yīng)用計(jì)算機(jī)及軟件，將所學(xué)的知識(shí)用于解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題，從而激發(fā)他們學(xué)習(xí)概率知識(shí)的熱情，提高他們利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的能力。最后，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該考慮到各個(gè)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生今后學(xué)習(xí)與發(fā)展的需要，在滿(mǎn)足教學(xué)大綱的要求下，選擇與其專(zhuān)業(yè)關(guān)系緊密的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)講授。同時(shí)，在講授過(guò)程中，本著以人為本的教學(xué)理念，注意多種方法靈活應(yīng)用，建立積極的互動(dòng)教學(xué)模式，盡量避免教師在課堂上滿(mǎn)堂灌、填鴨式地教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)潛能，最大限度地發(fā)揮和發(fā)展學(xué)生的聰明才智，使學(xué)生能理解概率統(tǒng)計(jì)這一學(xué)科領(lǐng)域思想方法的精髓。論文參考文獻(xiàn)：[1]盛驟，謝式千。潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]．北京：高等教育出版社，2009．[2] 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至于專(zhuān)業(yè)課 可