chapter3transforms變換(編輯修改稿)
2024-11-04 22:00 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 kqz+qw)= qv+qw , qv= (iqx+jqy+kqz)=(qx, qy, qz) , i2 = j2 = k2 =1, jk=kj=i, ki=ik=j, ij=ji=k qw為實(shí)部， qv稱為虛部， i, j, k 稱為虛軸 ? 四元 數(shù) 乘： qr = (iqx+jqy+kqz+qw) (irx+jry+krz+rw) = i (qyrzqzry+rwqx+qwrx) + j (qzrxqxrz+rwqy+qwry) + k (qxryqyrx+rwqz+qwrz) + qwrwqxrxqyryqzrz =(qv rv+rw qv+ qw rv, qw rw qv. rv) ? 四元 數(shù) 加： q + r = (qv, qw) + (rv, rw) = (qv+rv , qw+rw) ? 四元數(shù)共軛： q*= (qv, qw)*= (qv, qw) ? 四元數(shù)范數(shù)： n(q)= ||q2|| =q q*=q* q = qv .qv+q2w=q2x+q2y+q2z+q2w ? 四元數(shù)的逆： q－ 1= q* / ||q2|| ? 共軛法則 : (q*)*= q。 (q+r)*= q*+ r* 。 (qr)*= r*q* ? 范數(shù)法則 : n(q) = n(q*)。 n(qr) = n(q) n(r) ? 線性性： p(sq+tr) = s pq+ tpr (sp+tq)r = s pr+ tqr ? 交換率： p(qr)=(pq)r ? 單位四元數(shù)： n(q) =1, 可寫(xiě)成 q= (sin248。 uq, cos248。)=sin248。 uq+cos248。 其中 ||uq||=1 ? 對(duì)于單位復(fù)數(shù)，有 cos248。+ i sin248。 = ei248。 對(duì)于單位四元數(shù)有： q= sin248。uq+ cos248。= e248。uq ? 對(duì)數(shù)運(yùn)算： log(q)=log(e248。uq)=248。uq ? 指數(shù)運(yùn)算： qt=(sin248。uq, cos248。)t=e248。t uq =sin(248。t )uq+ cos(248。t ) 四元數(shù)變換 ? 單位四元數(shù)的最重要性質(zhì)： 能表示任意旋轉(zhuǎn)，而且表示簡(jiǎn)單、緊湊 ? 給定矢量 p=(px, py , pz , pw)T和單位四元數(shù) q= (sin248。 uq, cos248。)， qpq1把 p繞單位軸 uq旋轉(zhuǎn) 2248。角度 uq 248。 248。 ? q和 q表示相同的旋轉(zhuǎn) ? q和 r的復(fù)合旋轉(zhuǎn)為 rq 矩陣轉(zhuǎn)換 ? 把 q轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)矩陣，可得到 ( 設(shè) s=2/n(q) )： 對(duì)于單位四元數(shù)，上式簡(jiǎn)化為 ???????????????????????????10000)(1)()(0)()(1)(0)()()(1222222yxxwzyywzxxwzyzxzwyxywzxzwyxzyqqqsqqqqsqqqqsqqqqsqqsqqqqsqqqqsqqqqsqqsM???????????????????????????10000)(21)(2)(20)(2)(21)(20)(2)(2)(21222222yxxwzyywzxxwzyzxzwyxywzxzwyxzyqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqM旋轉(zhuǎn)矩陣到四元數(shù)的轉(zhuǎn)換 ? 由 Mq可得到 故若得到 qw，則 qx、 qy、 qz便可得。因?yàn)? zwqqywqqxwqqqqmmqqmmqqmm444011020201221??????)(4414)(24)(2222222222222222qMnqqqqqqqqqqqqqqqqstrwwzyxwwzyxzyxzyxq???????????????????????? ? 故單位四元數(shù)為 wqqzwqqywqqxqwqmm qqmm qqmm qq4 ,4 4 ,)(tr21011020201221??????? M單位四元數(shù)的球面線性插值 ? 給定兩個(gè)單位四元數(shù) q和 r，計(jì)算其插值四元數(shù) ? 代數(shù)形式 ? 更有用的形式 Spherical Linear intERPolation (Slerp) 10 。)(),( 1 ??? ? tt t qrqrqswwzzyyxx rqrqrqrqttttt???????????????c o s10 。 s i n)s i n (s i n))1(s i n (),(s l e r p),(其中rqrqrqs多個(gè)單位四元數(shù)的插值 ? 目標(biāo)： 給定單位四元數(shù) q0, q1, … q n1,計(jì)算其插值四元數(shù) ? 用 Slerp直接推廣，會(huì)導(dǎo)致關(guān)鍵幀處朝向的變化不連續(xù) ? 三次樣條法 : (1) 首先計(jì)算輔助四元數(shù) (2) 然后用三次 樣條進(jìn)行插值 ?????? ???? ????4)l og ()l og (e x p 1111 iiiiiiiqqqqqba))(1) , 2,sl e r p (),p(sl e r p ( sl e r),(sq
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