1671各種積分間的聯(lián)系1672曲線積分和路徑的無關(guān)性1673場(chǎng)論初步(編輯修改稿)
2024-11-04 19:21 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??? ?????DyxyPxQ dd?? ?LyyxQxyxP d),(d),(? ???Lxx yyxyy d)1c o se(d)si ne(① ② ③ ④ 練習(xí) 2 求星形線 tytxL 33 si n,c o s ??： 所界圖形的面積。 解 ???DyxA dd??Lyxd? ?? 2π0 64 d]co s[ co s12 ttt?? π20 24 ds i ncos3 t tt8322143652214312 ??? ??????? ???????y x O D L 1 1 1 1 ?? ???????? ??????DyxyPxQ dd重要意義： 建立了 二重積分 與 曲線積分 的一種等式關(guān)系 揭示了 函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)部 與 邊界 之間的內(nèi)在聯(lián)系 突破 右手系的限制，使它的 應(yīng)用 ，可以 導(dǎo)出 數(shù)學(xué)物理中的 許多重要公式 更加廣泛 ，而這只需要改變邊界的正向定義即可。 設(shè)空間區(qū)域 G, 如果 G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于 G, 則稱 G是空間二維單連通域 。 如果 G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面 , 則稱 G為空間一維單連通區(qū)域 . G G G 一維單連通 二維單連通 一維單連通 二維不連通 一維不連通 二維單連通 二 高斯公式 設(shè)空間閉區(qū)域 ? 由分片光滑的閉曲面Σ圍成 , 函數(shù) ),( zyxP 、 ),( zyxQ 、 ),( zyxR 在 ? 上具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有公式 ??????????????????RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( dSRQPdvzRyQxP)c o sc o sc o s()(?????????????????????或高斯公式 這里 ? 是 ? 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，??? cos,cos,cos 是 ? 上點(diǎn) ),( zyx 處的法向 量的方向余弦 . 證明 設(shè)閉區(qū)域 ? 在面 xoy 上的投影區(qū)域?yàn)?xyD . xyzo? 由 1? , 2? 和 3? 三部分組成 , ),(1:1 yxzz ??),(2:2 yxzz ??3??1?2?3?xyD根據(jù)三重積分的計(jì)算法 d x d ydzzRdvzRxyDyxzyxz??? ?? ?? ????? }{ ),(),(21.)]},(,[)],(,[{ 12?? ??xyDd x d yyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法 ,)],(,[),( 11???? ??? xyDd x d yyxzyxRd x d yzyxR( 1? 取下側(cè) , 2? 取上側(cè) , 3? 取外側(cè) ) ,)],(,[),( 22???? ?? xyDd x d yyxzyxRd x d yzyxR,)]},(,[)],(,[{ 12?? ??xyDd x d yyxzyxRyxzyxR???dxdyzyxR ),(于是.0),(3????d x d yzyxR.),(??????????? dx d yzyxRdvzR,),(?????????? dy dzzyxPdvxP同理 ,),(?????????? dz dxzyxQdvyQ高斯公式 和并以上三式得： ?????????????????? R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )(Gauss公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系 . .)c o sc o sc o s()(?
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