【微積分】定積分的幾何應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-06-05 04:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 a dsi n16 2π042 ??2π3 a?tta d)c o s1(π20 22 ? ?? 設(shè)由曲線 )( ??? ? 及射線?? ? 、 ?? ? 圍成一曲邊扇形，求其面積．這里，)( ?? 在 ],[ ?? 上連續(xù)，且 0)( ??? ． xo?d面積元素 ??? ddA 2)]([21?曲邊扇形的面積 .)]([21 2 ????? dA ??2. 極坐標(biāo)情形 )(??? ??? ?對應(yīng) 從 0 變 例 6. 計(jì)算阿基米德螺線 解 : ??? d)(21 2a??π20A22a??????? 331 ? 0π223π34 a?到 2? 所圍圖形面積 . aπ2 xO例 7 求心形線 )c o s1( ?? ?? a 所圍平面圖形的面積 )0( ?a . 解 ?? dadA 22 )c o s1(21 ??利用對稱性知 .23 2a???d? ?? ? ??0 22 )c o s1(212 daA??? da 2c o s40 42 ??221438 2 ????? au d ua ?? 20 42 c o s8?例 8 求雙紐線 )()( 222222 yxayx ??? 所圍 平面圖形的面積 . 解 由對稱性知總面積 =4倍第一象限部分面積 14 AA ????daA 2c o s214 40 2??.2a?xy??? 2c o s22 a?1A雙紐線的極坐標(biāo)方程 ?? 2c o s22 a?求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積 . （注意恰當(dāng)?shù)?選擇積分變量 有助于簡化積分運(yùn)算） 小結(jié) 思考題 設(shè)曲線 )( xfy ? 過原點(diǎn)及點(diǎn) )3,2( ，且 )( xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與 x 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積是另一條平行線與 y 軸和曲線 )( xfy ? 圍成的面積的兩倍，求曲線方程 .思考題解答 1S2Sx y o )( xfy ?),( yx12 2 SS ??? x dttfS 02 )(?????? x dttfxySxyS 021 )(])([2)( 00 ?? ??? xx dtt
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