[理學(xué)]16796第一型曲線積分的計算(編輯修改稿)
2025-02-15 14:43 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，如果當 時0?d ，和式的極限總存在， 則稱此極限為),( yxf在曲線弧 L 上 的 第一型曲線積分 將上述定義推廣，可得空間曲線 L 上 的第一型曲 線積分： ),(l i m),(10?????????niiiiidLsfdszyxf 。 或 對弧長的曲線積分 ，記作 ? L dsyxf ),( ，即 ?????????niiiiL sfdsyxf10 ),(lim ),( 被積函數(shù) 弧長元素 積分弧 二、第一型曲線積分的性質(zhì) 1 ． ??? ??? LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf ),(),()],(),([ ； 2 ． )( ),(),( 為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfL L? ?? ； 3 ． )( ,),(),(),( 2121LLLdsyxfdsyxfdsyxfLLL???? ??? 。 簡記為 ??? ??21),(LLLdsyxf . 4. . ,1),( 的長度等于時當 Ldsyxf L?? 若 L 是閉曲線，則 ),( yxf 在 L 上 的第一型曲線 積分記為 ?Ldsyxf ),( 。 5. .),(),( ,),(),( ?? ??LLdsyxgdsyxfyxgyxfL 則上設(shè)在.d),(d),( ?? ? LL syxfsyxf特殊地三、第一型曲線積分的計算法 1 ．設(shè) ),( yxf 在曲線 L 上 連續(xù)， L 的參數(shù)方程為 )( txx ? ， )( tyy ? )( ???? t ，其中 )( tx ， )( ty 在 ],[ ?? 上有 連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且 0)()(22???? tytx ，則 dttytxds )()(22???? ， dttytxtytxfdsyxfL)()()](),([),(22????????。 2 ．若 由 L 方程 )( )( bxaxyy ??? 給出，則 取 為參數(shù) x ， dxxyds )(12??? dxxyxyxfdsyxfLba)(1)](,[),(2???? ? 。 若 由 L 方程 )( )( dycyxx ??? 給出，則 取 為參數(shù) y ， dyyxds )(12??? dyyxyyxfdsyxfLdc)(1]),([),(2???? ? 。 3 ．若 由 L 方程 )(s i n)(c o s)( )( ????????????????????yx或 給出，則 取 為參數(shù) ? ， ??? ????? dds )()(22 ??? ??????????? ????dfdsyxfL)()(]si n)(,c o s)([),(22。 4. 若空間光滑曲線 的L 參數(shù)方程為 )( txx ? ， )( tyy ? ， )( tzz ? )( ???? t ，則 dttztytxds )()()(222?????? ， dttztytxtztytxfdszyxfL)()()()](),(),([),(222??????????。 注 ： （ 1 ）第一型曲線積分與曲線的方向無關(guān)，化為關(guān) 于參數(shù)的定積分計算時， 上限必須大于下限 。 （ 2 ）對 dsyxfL?),( 來說， ),( yxf 是定義在 L 上的， 被積函數(shù)中的 x ， y 應(yīng)滿足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化簡被積函數(shù)。 AB ：??????101yx， yy ? ， dyds ? ， OA ：??????100xy， 0?y ， dxds ? ， o xABy1?x2xy?0
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