16744大數(shù)定理與中心極限定理(編輯修改稿)
2024-11-04 19:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1,X2, … ,Xn相互獨立 , 且都服從以 p為參數(shù)的 01分布 . 因而 E(Xk)=p, D(Xk)=p(1?p) (k=1,2, … ,n), 由定理 2即得 121l i m 1 ,()nn P X X X pn e???? ??+ + + ?????即 l i m 1AnnP pne???? ???????18 注 : ① 伯努利大數(shù)定律是定理 2 的推論 , 它表明 : 當重復試驗次數(shù) n 充分大時 , 事件 A發(fā)生的頻率Ann依概率收斂于事件 A 發(fā)生的概率 p . 定理以嚴格的數(shù)學形式表達了頻率的穩(wěn)定性 . 在實際應用中 , 當試驗次數(shù)很大時 , 便可以用事件發(fā)生的頻率來近似代替事件的概率 . 19 ② 如果事件 A的概率很小 , 則由伯努利大數(shù)定律知事件 A發(fā)生的頻率也是很小的 , 或者說事件 A很少發(fā)生 . 即 概率很小的隨機事件在個別試驗中幾乎不會發(fā)生 , 這一原理稱為小概率原理 , 它的實際應用很廣泛 . 但應注意到 , 小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的 . 在多次試驗中 , 小概率事件也可能發(fā)生 . 20 四 , 中心極限定理 中心極限定理描述如下 : 當一個隨機變量 X, 是由 n個相互獨立 (可以不同分布不同數(shù)學期望不同方差 ,但是方差要存在 )的隨機變量 X1,X2, … ,Xn相加構(gòu)成 , X=X1+X2+… +Xn, 則只要這 n個隨機變量的方差是差不多大的 , n是足夠大的 , 則 X近似服從正態(tài)分布 , X的數(shù)學期望和方差 , 就是各個 X1,X2, … ,Xn的數(shù)學期望之和與方差之和 . (一般 n要大于 20以上 ) 21 一個常用到中心極限定理的情況是二項分布 , 即 X~b(n,p), 其中 n較大 , 通常要大于20, 則 X是 n個 01分布的相互獨立的隨機變量 X1,X2, … ,Xn之和 . 而因為 E(X)=np, D(X)=np(1?p), 因此近似有 X~N(np, np(1?p)). 這被稱為棣莫佛 拉普拉斯定理 . 22 例 2 一盒同型號螺絲釘共有 100個 , 已知該型號的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量 , 期望值是 100g, 標準差是 10g, 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ . 解 設 Xi為第 i個螺絲釘?shù)闹亓?, i=1,2, … ,100,且它們之間獨立同分布 , 于是一盒螺絲釘?shù)闹亓?X=X1+X2+… +Xn近似服從正態(tài)分布 , 因 E(Xi)=100, D(Xi)=100, i=1,2, … ,100,則E(X)=10000, D(X)=10000, 近似有X~N(10000, 1002) 23 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^ . X~N(10000, 1002), 因此 ? ?10000 10200 10000
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