16744大數(shù)定理與中心極限定理(編輯修改稿)
2024-11-04 19:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 1,X2, … ,Xn相互獨(dú)立 , 且都服從以 p為參數(shù)的 01分布 . 因而 E(Xk)=p, D(Xk)=p(1?p) (k=1,2, … ,n), 由定理 2即得 121l i m 1 ,()nn P X X X pn e???? ??+ + + ?????即 l i m 1AnnP pne???? ???????18 注 : ① 伯努利大數(shù)定律是定理 2 的推論 , 它表明 : 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù) n 充分大時(shí) , 事件 A發(fā)生的頻率Ann依概率收斂于事件 A 發(fā)生的概率 p . 定理以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了頻率的穩(wěn)定性 . 在實(shí)際應(yīng)用中 , 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí) , 便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)近似代替事件的概率 . 19 ② 如果事件 A的概率很小 , 則由伯努利大數(shù)定律知事件 A發(fā)生的頻率也是很小的 , 或者說(shuō)事件 A很少發(fā)生 . 即 概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生 , 這一原理稱(chēng)為小概率原理 , 它的實(shí)際應(yīng)用很廣泛 . 但應(yīng)注意到 , 小概率事件與不可能事件是有區(qū)別的 . 在多次試驗(yàn)中 , 小概率事件也可能發(fā)生 . 20 四 , 中心極限定理 中心極限定理描述如下 : 當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量 X, 是由 n個(gè)相互獨(dú)立 (可以不同分布不同數(shù)學(xué)期望不同方差 ,但是方差要存在 )的隨機(jī)變量 X1,X2, … ,Xn相加構(gòu)成 , X=X1+X2+… +Xn, 則只要這 n個(gè)隨機(jī)變量的方差是差不多大的 , n是足夠大的 , 則 X近似服從正態(tài)分布 , X的數(shù)學(xué)期望和方差 , 就是各個(gè) X1,X2, … ,Xn的數(shù)學(xué)期望之和與方差之和 . (一般 n要大于 20以上 ) 21 一個(gè)常用到中心極限定理的情況是二項(xiàng)分布 , 即 X~b(n,p), 其中 n較大 , 通常要大于20, 則 X是 n個(gè) 01分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X1,X2, … ,Xn之和 . 而因?yàn)?E(X)=np, D(X)=np(1?p), 因此近似有 X~N(np, np(1?p)). 這被稱(chēng)為棣莫佛 拉普拉斯定理 . 22 例 2 一盒同型號(hào)螺絲釘共有 100個(gè) , 已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量 , 期望值是 100g, 標(biāo)準(zhǔn)差是 10g, 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò) . 解 設(shè) Xi為第 i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓?, i=1,2, … ,100,且它們之間獨(dú)立同分布 , 于是一盒螺絲釘?shù)闹亓?X=X1+X2+… +Xn近似服從正態(tài)分布 , 因 E(Xi)=100, D(Xi)=100, i=1,2, … ,100,則E(X)=10000, D(X)=10000, 近似有X~N(10000, 1002) 23 求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò) . X~N(10000, 1002), 因此 ? ?10000 10200 10000
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